求函数值域或最值的常见方法

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1、求函数值域(或最值)的常用方法神木县第七中学高光敏函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的。高考中经常考查求函数的值域或最值。考生要熟悉并掌握常见的求值域或最值的方法。下面给出求值域的几种方法：1•配方法：求二次函数y二cix1+bx+c(a丰0)之值域就可用这种方法。例1求y=x2-2x+3(xeR)的值域。解：由于j=(x-1)2+2>2,故y=兀+3(xw/?)的值域是［2,+-)o2•图像法：求二次函数在给定区间的值域，就要使用图像法。例2.求惭数y=F+7^+3,xw［_1,1］的值域。解：二次函数y=x2+7%+3图像的对称轴是x=而区间［一1,1

2、］在对称轴的右边，函数丁=兀2+7兀+3在区间［—1,1］上是单调递增的(如图)，在x=・l时函数収最小值・3,在x=l时函数取最大值11,故所求值域是［—1,11］。例3.求函数y=2sin(2x+—),xg［―,—］的值域。6122解：由炸［兰上］得2X+-G由正弦图像sin(2x+-)6［-l,l］,于是12263662y=2sin(2x+-),xg的值域是［-1,2］,61223•换元法：对于形如y=ax+b土Qcx+d(a,b,cwR,ac式0)或y=dsin?兀+bsinx+c(aH())的函数，可通过换元，将其转化为二次函数在给定区间求值域的问题。例4.求函数y=4

3、x-5+J2x-3的值域。解：令t=Sx-3,则兀=匚尹。于是原函数可化为y=2r2+r+l,r>0,由于函数图像的对称轴是心-丄，函数在［0,+oo)±是递增的，所以匸o时函数取最小值1.所以原4函数的值域^［1,4-00).例5•求函数y=sin2x+sinx+1的值域。解：设r=sinx,则，由于对称轴是/=-丄，函数在［-1,--］上是，在减少的，在［--,1］222上是增加的，故在/=--时函数取最小值是°,在匸1时函数収最大值是3.原函数的值243域是［-,3］o44•反解法：形如y=°+•/(*),其中f(x)是有界函数，如/(x)=sinx,或'b+fMf(x)=

4、/(aHl,a>0),可用反解法，用y表示出f(x),依据f(x)的有界性，求岀y的取值范围。例6.求),，=co""的值域。2cos兀+1yl-2ycosX的2cosx+l解：由)，=—竺^—可得(l-2y)cosx=y(yH丄),所以cos兀二一-一.由于

5、cosx

6、<1,°2cosx+l21-2y所以COS2X<1,即(」—)251,3/-4y+l>0,或八1・故歹=1-2v3值域是(—co,—]51，+°°).ex+〃h5•分离常数法：对于形如『=丄上的函数，可将其变形为y=k+的形式，结合反ax+hax+b比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域。例7•求函数y二上丄

7、的值域。2x4-51—(2兀+5)—［解：防厶二=-1+2兀+52x+522兀+5y二上丄的值域是卜

8、)疋R,yH—I}2x+52772'因为亠•所以函数2x+56.判别式法：把函数转化为关于x的二次方程F(x,y)二0,通过方程有实根，判别式△»(),从2而求出原函数的值域。形如y=4匚+加+1(不同时为零)的函数求值域，常用•a2x2+b2x+c2'-此法。但要注意二次项系数为零和不为零两种情况。例8.求函数y=的值域。•宀4解：由y=^-得，yx2-3x+4y=0,当y=0时，x=0,当yHO时，由△»()得兀2+4--

9、=』-的值域是4•4jc+43344如果函数有最值，我们可以选择上面的某一个方法先确定值域，再得到最值。当然，我们也可以不必求出值域，而采用其他的方法得出最值，如基本不等式法，单调性法。当遇到求由两变量所构成的式子的最值时，基本不等式是最常见的方法。1.基本不等式法：利用均值不等式可以在给定和为定值的条件下，求出积的最大值，或者在已知积为定值的条件下，求出和的最小值。例9•求函数y=x+4工>2的最小值。x-2"解：由于尸—2+丄+2R6（当且仅当x=4时取“二”）+,故所求的最小值是6.x-2~例10已知wR+,x2+y2=1,求小的最大值。兀+y解：由于x2+y2=1>2xy

10、,所以xy0,函数解.8八（1一/2）一2/4・（一20_8八-4卢_4户（2-/2）•（I-/2）2一（1一厂）2一（1一/2）2y二空，虫（l,+oo）在区间（1,血）上是增加的；当/时/<0,函数1-Z-y="[,rw（l,+o