求函数值域(最值)的方法大全

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1、求函数值域(最值)的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域:一次函数的值域为R.二次函数,当时的值域为,当时的值域为

2、.,反比例函数的值域为.指数函数的值域为.对数函数的值域为R.正,余弦函数的值域为,正,余切函数的值域为R.二、求函数值域(最值)的常用方法1.直接观察法适用类型:根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数    例1、求函数y=的值域  解:显然函数的值域是: 例2、求函数y=2-的值域。解:≥0-≤02-≤2故函数的值域是:[-∞,2]2、配方法适用类型:二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如或类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=-2x+5

3、,x[-1,2]的值域。解:将函数配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函数的性质可知:当x=1时,y=4当x=-1,时=8故函数的值域是:[4,8]例4、求函数的值域:解:设,则原函数可化为:.又因为,所以,故,,所以,的值域为.3、判别式法适用类型:分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为的形式,再利用判别式加以判断。例5、求函数的值域解:恒成立,函数的定义域为R.由得。①当即时,;②当即时,时,方程恒有实根.且.原函数的值域为.例6、求函数y=x+的值域。解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=

4、0(1)xR,△=4(y+1)-8y≥0解得:1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。由△≥0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0≤x≤2,y=x+≥0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+]。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。

5、4、反函数法适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数的值域。分析与解:由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。反解得即知识回顾:反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为:。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。适用类型:一般用于三角函数型,即利用等。例8、求函数y=的值域。解:由原函数式可得:=>0,>0解得:-1<y<1。故所求函数的值域为(-

6、1,1).例9、求函数y=的值域。解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y可化为:sinx(x+β)=3y即sinx(x+β)=∵x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤≤1解得:-≤y≤故函数的值域为[-,]。6、函数单调性法适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值。(原理:同增异减)例10、求函数的值域。分析与解:由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令:配方得:由复合函数的单调性(同增异减)知:。例11、求函数y=(2≤x≤10)的值域解:令y=,=,则y,

7、在[2,10]上都是增函数。 所以y=y+在[2,10]上是增函数。 当x=2时,y=+=,  当x=10时,=+=33。故所求函数的值域为:[,33]。例12、求函数y=-的值域。解:原函数可化为:y=令y=,=,显然y,在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞)上也为无上界的增函数。所以当x=1时,y=y+有最小值,原函

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