资源描述：
《高等代数论文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、安徽师范大学数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文题目：对角化的讨论及应用姓名：张为东学号：120110111022安徽师范大学数学与应用数学系数学与应用数学专业2012级2013年8月25日对角化的讨论及应用摘要：本文主要讨论了线性变换的对角化以及实以对称矩阵的对角化的问题，线性变换的对，角化实质上也是矩阵的对角化，分析对角化问题，讨论矩阵是否可与对角矩阵相似，若相似，则有相同的特征值，即可用一定的初等变换将之化为对角阵，以及对角阵在解题材上下班具有比较简便的求法,化一个矩阵为对角阵,不但可以使矩阵运算简化，而
2、且在理论上和应用上都具有十分重耍的意义•关键词：对角化实对称矩阵特征值相似标准形式.（一）线性变换的对角化.正文一对如化的条件：设#是数域F上的线性空间,dim（v）=neN+,ae厶少）,又设g（x）,h（x）eF[x],则多项式的运算满足乘法交换律知gQ）/2Q）=/2（c7）gQ）引理1,设人仏,…&是b的两两不同的特征值，则和v入+喰+・・・+仪是直和.证明：gj⑴=（兀-入）••心-&・_]）（兀-右・+]）・・・0-人）,当/丰"寸令gj,l（X）=9"?，这也是一个多项式，设G]+如+…e=0x—A｛
3、其中勺wsJ=1,2,…f.由gjQ）=giQ）Q-Alid）0）=0有6=g」（（7）（0）=gj（cr）（e+a?+…e）=gj（（7）（a1）+---+gj（（7）（a/）=gjQ）（勺）因为gjQ）（勺）=gj（A）（勺）,而gj（&•）h0,所以aj=0设〃
4、,“2，・・・丛是的所有的两两不同的特征值•记y（c）=yAi㊉匕,…㊉乙若（/〃力是喩的一个基，则将（〃/）“=1,2,••订合并，得到的向量组（/〃）线性无关，并且是Xc）的一组基：引理2:如果dim（K）=n,而（〃/）含有〃个向量.记（〃/）
5、=｛"切2，・・・几｝，则（〃/）是y的一组基;记cr（“j）=/l冋,则o■在（/〃）下的矩阵是diag（入,几2,…推论：如果o•有几个两两不同的特征值，则b可对角化.证明：注意到特征子空间的维数是正整数，则此时每一个特征了空间的维数只能是1,故/可对角化.引理3:若（〃/）有m个向S,m兀,与已知矛盾故o•不可对角化.定理1:设w是数域尸上的线性空间,dim
6、（r）=neN^qwL（v）,“,“2,…儿是Hl勺所有的两两不同的特征值，勺可对角化的充分必要条件是：£dim（/L/）=nJ=17二对角化的计算方法：现在考虑F上nxn矩阵A的対角化的计算问题，注意到A否相似于对角矩阵，也就是必eUF"）是否可対角化.设“,“2，・・也是必他是A的）的所有的两两不同的特征值，齐次线性方程组（Z/7En-A）X=0的解空间记为®,dim（®）=®我们有：⑴必可对角化的充分必要条件是m,+m2+•••〃$=n,mf=“/的重数,/gF⑵如果（1）成立，将©的基（即（//7En-A）
7、X-0的一个基础解系），j二1,2,・・d合并起来得到向量组（/〃）:｛$,刍，…佥｝，于是话=循訂=1,2,…弘而必在（/〃）下的矩阵是对角矩阵B二diag（&,入,…&）⑶若取C=@,§2,…佥），则C是可逆的，并且LAOB三相似标准形现在假定A可对角化,我们来研究与A相似的对角矩阵是否在某种意义下〃惟一〃?也就是说，如果G,H都是对角矩阵，并且GH,G与H有什么进一步的关系？引理4:如果G二diag（人,&,…&）,H=diag（M，“2，・・・H）都是对角矩阵，并且GH,贝IJG与H只相差主対角线上排列的不
8、同：证明：先证必要性:如果GH,贝IJG与H的特征多功多项式相等因止匕,（兀一人）・・・（兀一/?7）・・・（兀一&）=（兀一“］）•・•（兀_"•）••・则结论成立.再证充分性,G是必在基馅,5…6｝下的矩阵,可以适当排列这个基得到另一个基（VI）使得b在（W）下的矩阵恰是H:定义1,设AwMa.（F）如果存在F上可逆矩阵C,使CSC是对角矩阵G二diag（人,易,…,则称G为A的（相似）标准形.定理2:如果矩阵A可对角化，则它的相似标准形在引理4下意义卜•惟一.四可对角化的等价情况设P为数域Ae卩谕,当p=C时
9、，则下列条件等价：1,A的每个若尔当块皆为1级的，2,A的最小多项式无重根，3,A的最后一个不变因子无重根，4,A的初等因子是一次的，5,A的特征多项式无重根.<—>实对称矩阵的对角化引理1'任意n阶复矩阵A必相似于上三角形矩阵，即存在可逆矩阵P,厂人...使得PiAP=；••・；，其中几&，…人为A的全部特征根H…引理2'实对称矩阵的特征根为实数.引理3'
