[精品]高等代数论文

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1、关于一道硕士研究生的入学试题的推广江飞芾田学院数学系01级数学与应用数学专业福建芾田351100关键词：特征根，共轨特征根，矩阵的迹。摘耍：2004年的漳州师范学院硕士研究牛入学髙等代数试卷中有-•道关于实对称阵的迹的不等式的试题，本文证明了这个不等式对一般的实矩阵也成立的，同时给出了其等号成立的充要条件。中图分类号:0151.210引言设/T”表示所有的巾阶实矩阵的集合；Ak(A)=ak+bki(i2=-,sSwR,k=l,2,…“)为实矩阵A的所有特征根；若特征根不是实数就称为非实的特征根；记S(A),UM),Z(幻分别表示A的所有实

2、部为正的特征根之和，所有实部为负的特征根之和以及所有实部为零的特征根之和。记SA)=(5(A))2o漳州师范学院2004年硕士研究生入学的高等代数试题(第九题)(为讨论方便称为命题)，如卜：命题设4是个n阶实对称方阵，77(A)是4的迹(即A的主对角线上所有元素之和)，S(A)是4的所有正特征根之和。证明：2S2(A)>Tr(A2)+(2S(A)-Tr(A))Tr(A)(1)并且等号成立，当且仅当①人是零矩阵，或②人相似于对角矩阵d7dg(a,0,0…0)心0,或③A合同于对角矩阵〃边(1,-1,0・・・0)。”这是近几年高等代数考研题中

3、比较新颖的题目，木文将推广这个命题。2预备知识首先先证明以卜•三个引理：引理1AwR'网,则有复可逆阵P满足‘人⑷*、P'AP=••・(2)<04(A),上述等式的右边矩阵为“上三角形”矩阵，主对角线以下的元素都是零。(见文[1])引理2设AgRnxn,则:£琦芈=0(其中“为非负整数,®为奇整数)。Jt=l证明：实矩阵的特征多项式是实系数多项式，故力的非实的特征根必是成共轨出现的，并月•非实的特征根的个数为偶数。不失一般性，对A的所冇特征根进行如下编号:记4的所冇实特征根为：九(A)=氐+bki,bk=0,k=1,…，加,贝-m必是

4、偶数。记A的一切非实的特征根为:⑷=^m+k+^m+kAn-m.(A}=dn-m.+bn-m,+A、zm+4-4?w+-2其中a,仆=am+n^L+kbn+k=—化+号+r从而知:…屮爲"b叫m++k2n-mn-mn~m这样:m十——+k2nm2k=k^k=-mn-m"一加”一加二気爲隔+気爲(-验)=()k=k=即：£&冷=o(其屮"为非负整数®为奇整数)。k=工=0ok=推论1：设AeRnxn,则:引理3：设AeRnxn,记4所有的实部为正的特征根为：%(A)=Qpj+bpji,ap>0,j=r,所有实部为负的特征根为：

5、入q(A)=Clq)+bqJ,Cig,<0,j=h…,t,所有实部为零的特征根为：2%(A)=©+b”i,d”=0，丿=1,…,s,(其中:Pj,qj,h「为不大于的斤自然数，u为不大于斤的自然数，r+s+fm),m：S⑷話他，附)茫厲，Z⑷=0Tr(A)=S(A)+L(A)=Xap+工。⑸j=J>1力证明：A的实部为」I•:的特征根可分为实部为」I•:的实特征根和实部为」I•:的非实的特征根这互不相交的两个类，注意到非实的特征根是成共辄出现的，因此不失一般性，对其进行如下编号：记实部为正的实特征根为：几pj(A)=cipj+bpJ,j=

6、l,・・・,s,bp=0,r-s为偶数。实部为止的非实的特征根为:2(A)=ap其

7、

8、q=aD,b3匕+兮+rP*=-bl},k=1s+jj=ls+j7=1J同法可证：L(A)=iai{,Z(A)=0故结论(4)成立。这样由(4)可得:J=lJTr(A)=5(A)+L(A)

9、+Z(A)=S(4)+附)=訓+訊即(5)式成立。3主要结果定理1设AeR-,则有(1)式成立，且等号成立当且仅当下面之一条件成立:①A的所有特征根为0,或②0为4的n-1重特征根，另一根是非零实根，或③0为A的n-2重特征根，其它两个实特征根符号互异。证明：由(4)知：S2(A)=(£d“.)2=£d；+2》dd"1Jk=lJiQy

10、(3)式,可得：Tr(A2)=i^(A)=i(ak^bki)2i=lk=l=t^-tb~+2itakbkk=k=lk=l=t<-±blk=lk=l氓";+£"；+£"：=伞；+