【精品】高等代数论文

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1、莆田学院数学与应用数学系“高等代数”课程论文题目:四分块矩阵的初等变换的性质及应用姓名：黄俊艺学号：410401338莆田学院数学与应用数学系数学与应用数学专业043数本2007年6月24号四分块矩阵的初等变换的性质及应用摘要：给出四分块矩阵初等变换及其性质；论述它们在矩阵秩，等式，不等式证明及求解矩阵行列式，求矩阵逆的应用。关键词:四分块矩阵，初等变换，矩阵秩，矩阵行列式，矩阵逆正文：预备知识：定义1初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换（初等行或初等列变换）所得到的矩阵。初等矩阵共分3类：（1）P（i,j）——变换E的第/•行与第丿•行（或第i列与第列）得到的矩阵（2）P（i（R））——

2、用数域P中的非零数k乘以E的第，行（或第丿•列）得到的矩阵（3）P（i,j（k"——把E的第丿•行的k倍加到第诃亍（或第丿•列的k倍加到第i列）得到的矩阵定义2分块初等矩阵分块初等矩阵共分3类：（oE⑴E0”"⑺UU丿⑵［oeJ"1（M），2），冷JP（h2（M）），其中M可逆.（E（F（）、⑶Je"MM）），J"1（M），2）性质1:分块初等矩阵均是可逆矩阵（b、性质2：分块初等矩阵左（右）乘（要可乘，可加）相当于对其作相应的分块初等tD）行（列）变换性质3：分块初等变换不改变矩阵的秩一四分块矩阵极其初等变换在证明矩阵秩等式与不等式的应用例1SyWester公式：设AePsxBePn

3、xm证明:r（A）+r（B）-nI。Eg<0—AB丿B、0、U0丿—I<0—AB,由性质3得:r（A）+r（-AB）=n+r（AB）KB}P（l，2）、r（u（）,B丿/X故r+诃所以B、=rr（A）+r（B）n+r（AB）=r因此r（A）+r（B）-nr（AB）+r（BC）-r（B）证明：对于四分块矩阵0]B丿（ABCo>P（l・2）、P（】（-C）・2）、<0

4、AB、fPg）、[0B丿MBH（AB0、r（>4B）+r（BC）r（ABC）+r（B）=r所以r（ABC）>r（AB）+r（BC）-r（B）例3设4为71X71矩阵证明：A2=E<=>r（A+E）+r（A-E）=/?A-EI0（A-E0）<0A+叮证明：对于四分块矩阵A-Ep何扣一咄由性质3得:0、A+E丿（-E.A-EA-Ef_]_t~2、0畀"）2£E）A-E00、A+Ey0]A+E,/=r（A-E）+r（A+E）r（A-E）+r（A+E）=r（A2-E）+nr（A-E）+r（A+E）=n<=>rA-E

5、E-A、{A-E2E丿4（a2-£）0E丿PUD）》（A2-E）+r（E）=r（A2-E）+/?（a2-e）=o<=>a2=e例4设A,3分别为nxm,mxn矩阵，且ABA=B»证明：对于四分块矩阵'E-AB0<0>E+AB丿因为ABA=B',贝二:B-'B=,E[E-AB0'P(1(E)・2)、（E-AB0X0E+AB丿7[e-abe+ab/0-E-AB}P：2,妆AB—E）<00、[e-ab2E丿（02E丿由性质3得（E-AB0、<00）r<0E+AB,=r〔02E)=n证明：r(E-AB)+r(E+AB)=n、P(1,2(E))、（E-XBE-AB、<£W、/jE—AB2E丿XrE-

6、AB0=r（E-AB）-^-r（E+AB）所以r（£-AB）+r（£+AB）=n例5设A为nxn矩阵证明：A3=A<^>r（A）+r（E-A2）=n<^>r（A）=r（A-A2）4-r（A+A2）证明：先证：A3=A»r（A）+r（E-A2）=/?（ArI。0、E,-r（A-A3）+n对于四分块〔°一2（A0>叩⑷2）、S0>"2（—）,1）、E-A//E-A2；/咆-心）、