第6章 弯曲变形

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1、第六章弯曲变形材料力学田祖安重庆科技学院力学系tianzu2@yahoo.com.cn2011.031§6-1概述（工程中的弯曲问题）§6-2挠曲线的近似微分方程§6-3用积分法求梁的变形§6-4用叠加法求梁的变形§6-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施§6-6用变形比较法解简单超静定梁主要内容21、轧辊弯曲轧辊受板坯反作用力发生弯曲变形，将导致钢板沿宽度方向的厚度不均，影响产品质量。2、叠板弹簧汽车轮轴上的叠板弹簧缓和车辆受到的冲击和振动§6-1概述（工程中的弯曲问题）33、齿轮轴弯曲过大的齿轮轴弯曲变形，导致齿轮间啮合不良，影响轴与轴的配合。最终导致传动不稳，设备磨损加快。根据工

2、程需要，为限制或利用弯曲变形，需研究梁变形规律。§6-1概述（工程中的弯曲问题）44、桥式起重机桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。§6-1概述（工程中的弯曲问题）5§6-2挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠曲线挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移向上为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正62.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响§6-2挠曲线的近似微分方程7由数学知识可知：略去高阶小量，得所以§6-2挠曲线的近似微分方程8由弯矩的正负号规定可得，弯矩

3、的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§6-2挠曲线的近似微分方程近似性：①略去剪力的影响②略去了项9§6-3用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：10积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件－弹簧变形§6-3用积分法求梁的变形11例求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§6-3用积分法求梁的变

4、形124）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度ABF§6-3用积分法求梁的变形13例求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形143）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形154）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件§6-3用积分法求梁的变形165）确定转角方程和挠度方程AC段：CB段：§6-3用积分法求梁的变形176）确定最大转角和最大挠度令得，令得，§6-3

5、用积分法求梁的变形18讨论积分法求变形有什么优缺点？§6-3用积分法求梁的变形19§6-4用叠加法求梁的变形设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：由弯矩的叠加原理知：所以，20故由于梁的边界条件不变，因此重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§6-4用叠加法求梁的变形21例已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解yC1yC2yC32）

6、查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。解§6-4用叠加法求梁的变形22yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和§6-4用叠加法求梁的变形23例已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。解§6-4用叠加法求梁的变形243）将结果叠加2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。§6-4用叠加法求梁的变形25讨论叠加法求变

7、形有什么优缺点？§6-4用叠加法求梁的变形26§6-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：27根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：解§6-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施例已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。28例已