第7章弯曲变形

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1、第7章弯曲变形7.1概述一、工程屮的弯曲变形问题前一章讨论了弯曲强度问题。在工程结构中，某些受弯杆件除满足强度要求外，还必须满足刚度要求,也就是说，弯曲变形不能太大，否则构件不能正常工作。例如，车床主轴的弯曲变形过大(图7-la),会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快。而且还会影响加工精度(图7-1b)o又如轧钢机在轧制钢板时，若轧規的弯曲变形过大(图7-lc),将使轧出的钢板沿宽度方向的厚度不匀，影响产品质量。因此弯曲变形过大往往不利于构件的正常工作，所以要限制它。图71轧辘轧件(c)但有时又有相反的情况，即要求构件有适当的变形

2、，才能符合使用要求。例如汽车的叠板弹簧(图6-29d),要求产生较大的弹性变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用。又如弹簧扳手(图7-2),要求有明显的弯曲变形，才能使测得的力矩更为准确。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。因此，必须研究梁的弯曲变形。本章研究平面弯曲时梁的变形计算。二、弯曲变形一一挠度和转角假设悬臂梁八B,在外载作用下，发生弯曲变形，将原为直的轴线AB弯曲成连续光滑的曲线AB如图梁左端截面的形心主轴重合,方向向上。这样，挠曲线可以用(7方程Z£A,LL3丨BW=/⑴(7—1)fcX11F表示。式(71)称为梁的挠

3、曲线方程(deflectionequation)oI►u图7-3为了描述梁的变形，通常取直角坐标系。以梁的左端A为原点，令尤轴与梁变形前的轴线重合，方向向右；w轴与7-3所示。在平面弯曲的情况下，曲线AF是一条位于载荷平面内的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线(deflectioncurve)o由图7—3可见，梁弯曲后，任一横截面的形心C移至C',由于梁的变形是很小的，变形后的挠曲线是一条非常平坦的曲线。所以，形心C的水平位移可以忽略，从而认为线位移CC'垂直于变形前的轴线，这种截而形心在弯曲时的线位移，称为该截面的挠度(deflection),用w

4、表示。另外，梁在变形时，横截面还将绕中性轴转过一角度，这个角度称为截面的转角(slopeofcrosssection),用&表示(图7—3)。因此，梁的弯曲变形可用挠度和转角两个基本量來度量。挠度w和转角&随截面位置X而变化，即均为兀的函数。根据梁的平面假定，变形后的横截面仍垂直于梁的轴线。因此，任-•截面的转角，也可用挠曲线在该截而形心处的切线与兀轴的夹角&来表示。由挠曲线方程(7-1)求得挠曲线上任意一点的斜率为dw/、tan&=——=w(a)dx在工程实际中，由于梁的转角&一般是很小的，故tan&=0,则式(。)改写为0=^=w(7—2)d

5、x上式表明，梁任一横截面的转角&等于挠曲线在该截面处的斜率。这样，只需求出挠曲线方程，就可以确定梁上任一横截面的挠度和转角。挠度和转角的符号与所选坐标系有关。在图7—3所示的坐标系中，规定向上的挠度为正，反之为负。截面逆时针转向的转角为正，反之为负。根据这样的规定，在图7—3所示的悬臂梁上，C截面的挠度和转角均为正值。7.2挠曲线近似微分方程对于纯弯曲的情况，曾经得到公式(6-1),将式屮的厶简写为/后，该式为一=——io)pEI上式表示弯矩引起的弯曲变形。在横力弯曲吋，剪力也会影响弯曲变形，但在一-般情况下，梁的跨度总是远大于横截而高度的。此时

6、，剪力对弯曲变形的影响很小，可以忽略不计。这样，(b)式仍可用作计算横力弯曲时变形的基本关系式。当然，这时的曲率丄和弯矩M均为兀的函数，即P另外，平面曲线W=f(x)的曲率丄可以写成0(兀)(d)d2w丄=±乔P(兀)[]+(dW)2]3/2dx由于挠曲线是一条非常平坦的曲线，dw/dx的数值是很小的，(〃w/必尸与1相比可以忽略，于是，(d)式可简化为1P(x)dx2(e)式(e)代入式(c),得EI式屮等号左边的符号，収决于弯矩的符号规定和兀-⑷坐标系的选収。如图7—4所示，在(a)图中，当梁段受到正弯矩作用时，挠曲线向下凸出。该曲线在图示兀

7、坐标系中的二阶导数为正;在(b)图中，负弯矩作用下梁段挠曲线的二阶导数为负。因此，(/)式等号两侧的符号应该一致，于是，(/)式应为图7—4;1/<0EI(7-3)上式即为挠曲线近似微分方程，称它为近似微分方稈的原因是：（1）忽略了剪力对弯曲变形的影响，（2）在式（d）的分母［l+（dw/力）2严2中，略去了（dw/dx）2项。由方程（7-3）求得的结果，对工程应用来说,是足够精确的。7.3用积分法求挠度和转角对挠曲线近似微分方程进行积分，可以求得梁的转角方程和挠度方程，从而求得梁在各个截面的挠度和转角。公式（7-3）可改写为EIw''=M(x)

8、(7—4)AB对于等截面梁，抗弯刚度EI为常数。将式（7-4）的等号两侧乘以必，(a)7)//////———uufrp.积分一次得转角方