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1、直线与与圆的位置关系适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点直线与圆的位置关系及其判定方法弦长与切线问题直线与圆的方程的应用圆与圆的位置关系及其判定方法教学目标1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决问题.4.了解用代数方法处理几何问题的思想.教学重点直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法；用直线和圆的方程解决问题教学难点用直线和圆的方程解决问题教学过程1.初中直线与圆的位置关系和等价条件.2•初中直线与圆的位
2、置关系和等价条件・2•两点间的距离和点到直线的距离公式•二知识讲解考点1直线与圆的位置关系位置关系有三种：相交、相切、相离•判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法:[＞0o相交⑴代数法：4少一4必》=0。相切＜0＜=＞相离(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径厂的大小关系：d＜厂＜=＞相交,d-广o相切zd＞广o相离・考点2计算直线被圆截得的弦长的常用方法⑴几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算.(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式AB=寸1+加心-心I=p(1+疋)[(心+M・
3、4林川.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.要点诠释：如何求弦长？提示：⑴代数法：弦长公式AB=p1+M*1-x2=1+/T••aJui+x2)2-4X
4、X2=⑵几何法：设弦心距为d,圆半径为r,则弦长1=2十■孑.其中,弦长公式对直线与椭圆、双曲线、抛物线的相交弦也适用•代数法是直线与圆锥曲线相交求弦长的通法；几何法是充分利用了圆的几何性质,计算量小，简洁明了，但仅对圆的弦长适用.考点3求过点PUo,必)的圆?+)2=/的切线方程(1)若P(x()/为)在圆A-2+/二，上，则以P为切点的圆的切线方程为心+y{)y
5、=r2.(2)若P(x(),为)在圆x2+/=r外，则过P的切线方程可设为y-))=k(x・兀()),利用待定系数法求解.说明：£为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的情况•要点诠释：过圆外一点P伽,沟)如何求圆的切线方程？提示：求过圆(兀-a)?+©—b)2二/外一点P(m,町的圆的切线I的方程时,首先当斜率存在时设切线斜率为k.写出点斜式方程y■料二k(x・m),一种方法是利用圆心到直线的距离等于半径，列出关于斜率k的方程，求得k即求得了切线方程；另一种方法联立y-=k(x-m)f797消元后利用/二0求出k的值.ay+(
6、y以上两种方法,要注意讨论斜率k存在和不存在两种情形.考点4与圆的位置关系(1J圆与圆的位置关系可分为五种：相离、夕沏、相交、内切、内含(2)判断圆与圆的位置关系常用方法：①几何法:设两圆圆心分别为0
7、、02,半径为八、r2(n#r2),则0
8、02>n+厂2。相离；0
9、。2二厂1+厂20外切；r-r2
10、V0
11、。2V门+相交；。1。2二1门・厂2
12、o内切；。1。2VI门-旳0内含.卜2+于+£>]兀+&歹+用二0,②代数法：方程组「+y+Dix+E^y+局二0,有两组不同的实数解O两圆相交；有两组相同的实数解O两圆外切或内
13、切；无实数解O两圆相离或内含•三.例题精析【例题1]已知圆C*(x-1)2+tv■2)2=25及直线I:(2m+1)兀+(加+l)y=Im+4(mGR).⑴求证:不论m为何值，直线/恒过定点；(2)判断直线I与圆C的位置关系；(3)求直线/被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【答案】⑴直线方程可化为x+y-44-m(2x+y■7)二0,+4二0,[x=3t由方程组■可得[2x+>'-7=0,卜二],所以不论m取何值，直线I恒过定点(3,1).(2)由、/(3・I)?+(1・2尸二远<5,故点(3,1)在圆内，即不论加
14、取何值，直线/总与圆C相交・(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦AB最短.AB=2y/P-CM2=2aJ25-[(3-1)2+(1-2)2]=4^5,12m+11止匕时k二■厂，艮卩=-—=2/kcM加+1丄・23解得加二■右代入原直线方程，得/的方程为2—)一5二0.【解析】1•利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得至啲一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；2•勾股定理是解决有关弦长问题的常用方法.【例题2】在平面直角坐标系兀Oy中，直线—y
15、+1二0截以原点0为圆心的圆所得的弦长为(1)求圆0的方程；(2)若直线/与圆。相切于第一象限，且与坐标轴交于点D,E,当DE长最小时，求直线/的方程.【答案】⑴因为点。到直线—y+1二0的距离为土,所以圆0的半径为故圆O的方程为"+〉，2二2.⑵设直线/的方程为+扌二1(。>0,b>0)
