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1、圆中动点探索题赏析江苏朱元生圆是初中数学的重要内容2—，而数学探索又是数学教育改革的新亮点，因此圆的探索性试题便成了各地屮考命题的热点，命题者将圆的问题巧妙设计成数学探索题用以考杳同学们的分析能力、想象能力、探索能力和创新能力。现仅就2008年小考题有关圆的动点探索题精选两例解析如下，供同学们鉴赏：例1(2008湖南永州)如图，已知OO的直径AB=2,直线m与OO相切于点A,P为OO上一动点(与点A、点B不重合)，PO的延长线与©O相交于点C,过点C的切线与直线加札I交于点D.(1)求证：AAPC^ACOD
2、.(2)设AP=x,OD=y,试用含兀的代数式表示产(3)试探索兀为何值时，AACD是一个等边三角形.分析⑴可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”來说明厶APC-ACOD;⑵根据相似三角形的对应边成比例，找出x与y的关系;(3)若AACD是一个等边三角形，逆推求得兀的值.解（1）•:PC是OO的直径，CD是OO的切线，・・・Z/MC=ZOCD=90。.由OA竺“DOC,得到ZDOA=ZDOC,:.ZAPC=ZCOD,AAAPC<^ACOD.Apnrx]2(2)由AAPC^ACOD,得——=——，・•・一
3、=—贝ijy=-PCOD2yx(3)若△ACD是一个等边三角形，则ZADC=60°,ZODC=30°于是OD=2OC,nJ得y=2,从而x=l,故当x=l吋，/XACD是一个等边三角形.点评木例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定，证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形和似;两条边分别对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似；(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论，得出对应边成比例，找出y与x间的关系.⑶动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找
4、出结论成立的条件.本题应从△ACD是一个等边三角形出发，逆推ZA£>C=60°,ZODC=30°，于是OD=2OC,可得y=2,从而x=l,故当x=l时,/XACD是一个等边三角形.例2(2008江苏南京)如图,已知。0的半径为6cm,射线PM经过点O,OP=10cm,射线PN与O0相切于点Q.A,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为"・(1)求PQ的长；(2)当/为何值时，直线AB与00相切？分析(1)连OQ,则OQ丄PN,
5、由勾股定理可以求得PQ的长；⑵山直线AB与OO相切，先找出结论成立的条件，当BQ等于OO的半径时，直线AB与OO相切，再根据直线AB与相切时的不同位置，分类求出t的值.解(1)连接OQ.・・•PN与O0相切于点Q,・•・OQ丄P,,即ZOQP=90°・・・・OP=10,OQ=6,・PQ=7102-62=8(cm)(2)过点O作OC丄AB,垂足为C.•••点A的运动速度为5cm/s,点B的运动速度为4cm/s,运动吋间为/s，/•PA=5t,PB=4t.PA—PQ"而PBPQvZP=ZP,AAPAB^APO
6、Q,AZPBA=ZPQO=90()•・•ZBQO=ZCBQ=ZOCB=90°,・・・四边形OCBQ为矩形.・・・BQ二OC・・・O0的半径为6,・・・BQ=OC=6吋，岂线AB与OO相切.①当AB运动到如图1所示的位置时.BQ=PQ-PB=S-4t.山3Q=6,得8-4U6.解得t=0.5(s).②当AB运动到如图2所示的位置时.BQ=PB—PQ=4t—8.山3Q=6,得4f—8=6.解得r=3.5(s).所以，当(为0.5s或3.5s时，直线AB与00相切.点评本例是一道双动点儿何动态题•是近年來屮考数学
7、的热点题型.这类试题信息量大，对学牛■获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
