圆中的动点问题

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1、圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题,做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点,从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一:圆中的折叠问题例题一(2012江西南昌12分)已知,纸片⊙O的半径为2,如图1,沿弦AB折叠操作.(1)①折叠后的所在圆的圆心为O′时,求O′A的长度;②如图2,当折叠后的经过圆心为O时,求的长度;③如图3,当弦AB=2时,求圆心O到弦AB的距离;(2)在图1中,再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作.①如图4,当AB∥CD,折叠后的与所在圆外切于点P时,设点O

2、到弦AB.CD的距离之和为d,求d的值;②如图5,当AB与CD不平行,折叠后的与所在圆外切于点P时,设点M为AB的中点,点N为CD的中点,试探究四边形OMPN的形状,并证明你的结论.【答案】解:(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆,∴O′A=OA=2。②当经过圆O时,折叠后的所在圆O′在⊙O上,如图2所示,连接O′A.OA.O′B,OB,OO′。∵△OO′A,△OO′B为等边三角形,∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。∴的长度。③如图3所示,连接OA,OB,∵OA=OB

3、=AB=2,∴△AOB为等边三角形。过点O作OE⊥AB于点E,∴OE=OA•sin60°=。(2)①如图4,当折叠后的与所在圆外切于点P时,过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E,交CD于点G、交于点F,即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。∵AB∥CD,∴EF垂直平分AB和CD。根据垂径定理及折叠,可知PH=PE,PG=PF。又∵EF=4,∴点O到AB.CD的距离之和d为:d=PH+PG=PE+PF=(PE+PF)=2。②如图5,当AB与CD不平行时,四边形是OMPN平行四边形。证明如下:设O

4、′,O″为和所在圆的圆心,∵点O′与点O关于AB对称,点O″于点O关于CD对称,∴点M为的OO′中点,点N为OO″的中点。∵折叠后的与所在圆外切,∴连心线O′O″必过切点P。∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆,∴O′P=O″P=2,∴PM=OO″=ON,PN=OO′=OM,∴四边形OMPN是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质,等边三角形的判定和性质,平行四边形的判定,垂径定理,弧长的计算,解直角三角形,三角形中位线定理。【分析】(1)①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆,可得O′A的长度

5、。②如图2,过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,连接OA.OB.AE、BE,可得△OAE、△OBE为等边三角形,从而得到的圆心角,再根据弧长公式计算即可。③如图3,连接O′A.O′B,过点O′作O′E⊥AB于点E,可得△AO′B为等边三角形,根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离。(2)①如图4,与所在圆外切于点P时,过点O作EF⊥AB交于于点E,交于点F,根据垂径定理及折叠,可求点O到AB.CD的距离之和。②由三角形中位线定理,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。变

6、式一如图是一圆形纸片,AB是直径,BC是弦,将纸片沿弦BC折叠后,劣弧BC与AB交于点D,得到.ODCAB(1)若=,求证:必经过圆心O;(2)若AB=8,=2,求BC的长.变式二如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=BC.(1)求∠BAC的度数;(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H;求证:四边形AFHG是正方形;(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.题型二:圆中的旋转问题例题二(2011湖南常德,25.10分)已知△AB

7、C,分别以AC和BC为直径作半圆,P是AB的中点。(1)如图8,若△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在上分别取点E、F,使,则有结论①.②四边形是菱形。请给出结论②的证明;(2)如图9,若(1)中△ABC是任意三角形,其它条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;(3)如图10,若PC是⊙的切线,求证:(1)∵BC是⊙O2直径,则O2是BC的中点又P是AB的中点.,∴PO2是△ABC的中位线∴PO2=AC又AC是⊙O1直径∴PO2=O1C=AC同理PO1=O2C=BC∵AC=BC

8、∴PO2=O1C=PO1=O2C∴四边形是菱形(2)结论①△PO1E≌△PO2F成立,结论②不成立证明:在(1)中已证PO2=AC,又O1E=AC∴PO2=O1E同理可得PO1=O2F∵PO2是△ABC的中位线∴PO2∥AC∴∠PO2B=∠ACB同理∠PO1A=∠ACB∴∠PO2B=∠PO1A∵∠AO1E=∠BO2F∴∠PO1A+∠AO1E=∠PO2B+∠BO2F即∠PO1E=∠FO2P、∴△EO1P≌△PO2F;(3)延长AC交⊙O2于点D,连接BD.∵BC是⊙O2

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