压轴题四：相似三角形分类讨论问题

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1、育才实验学校九年级数学压轴题库（四）相似三角形的分类讨论例1如图10-5,己知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿A3方向以lcm/s的速度向3点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿D4方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的而积等于矩形ABCD面积的丄？9（2）是否存在时刻/,使以A,M,2为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求/的值；若不存在，请说明理由.例2如图，在平面直角坐标系屮，点C(-3,0),点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足V0B2-3+

2、(M-l

3、=0・(1)求点A、点B的坐标：(2)若点P从C点

4、出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP,设ZVIBP的面积为S,点P的运动时I'可为f秒，求S与f的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例3已知在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点D,E,且尿二亦，点P是OC±一动点(点P与点A,B不重合)连BP,AP(1)求ZBPA的度数；(2)若过点P的OC的切线交x轴于点G,是否存在点P,使AABP与以A,GP为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，

5、若不存在，说明理由。例4如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在X轴上,CF交y轴于点B(0,2),且其面积为&(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2,若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q,过点P、Q分别作兀轴的垂线，垂足分别为S、R.①求证：PB=PS；②判断ASBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点例5如图，抛物线y=ax2--hx+c经过点0(0,0),A(4,0),B(5,5),点C是y轴负半轴上一点，直线/经过B,C两点，且tanZOCB=-(

6、1)求抛物线的解析式；(2)求直线2的解析式；(3)过O,B两点作直线，如果P是直线OB上的一个动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交抛物线于点Q。问：是否存在点P,使得以P,Q・B为顶点的三角形与AOBC相似？如果存在，请求岀点P的坐标；如果不存在，请说明理由。第25题育才实验学校九年级数学压轴题库()答案例1解：(1)设经过x秒f-AMN的面积等于矩形ABCD面积的丄,9由题意得DN=2x「AN二6・2x「AM=x,•••换ABCD中AB=3,BC=6,,'.AD=BC=6,CD=AB=3r从而矩形ABCD的面积为AB-AD=3x6=18「110-AMN的面积二一AN•AM=--x

7、(6-32x)=3x-x2r22可得方程/_3x=2,解得：X]=1,兀2=2f所以,经过1秒或2秒「-AMN的面积等于矩形ABCD面积的丄；9(2)fAN=6-2tfAM=tf若NMA_LACD,则有.AD二严，即6丄ANAM6-2xx解得:x=1.5;^AMNALACD,(1)vVoF^3+

8、a4-i

9、=o则有力竺.「即J3,ANx6-2x解得:x=2.4,所以f当t二1.5秒或2.4秒时,以A、M、N为顶点的三角形与二ACD相似。/.052-3=0,04—1=0.・•・0B-羽,0A=1点4J点E分别在X轴，尹轴的正半轴上＞・•・/〔1,0),0,V3).（2）由（」得妒4W

10、p+（何=2,BC弋+（羽）2=2击.・・AB2+5C2=，+（2®=16=^C2.・•・△磁为言角三角形，Zj45C=90".£设炉卄过卅尸QLmfC由厶CW氐ISO.2•—x4x^-—x4x—r-{-=222=2V3-H0

11、点P,・・・ZGPA二ZPBA.又VZGAP是ZkABP的外角，・・・ZGAP>ZBPA,ZGAP>ZPBA.欲使ZkAPB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须ZGAF二ZPAB二如。，小戶为机的直径.在RtAPAB中，ZBPA=60°,PB=8,PA=4fAB=4^3»0A=2^3>P（2^3，4）②当P在弧EBD上时，(图2)在△PAB和△GAP中,•・•ZFBA>AGBP的外角，/.ZPBA>ZPGB,又VZFAB=ZGAP,欲使AAPB与以点A、