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1、锥曲线易错点剖析一、对概念一知半解我们认识一种新事物往往从定义、概念去入手，它是解决数学问题的重要依据和源泉，然而我们往往一目十行，似懂非懂，没有深入，导致了概念性的错误.1•圆锥曲线第一定义(1)椭圆：与两定点［Fl、F2］距离之和等于常数［2a］,且［2a—定要大于F1F2］.当常数等于［F1F2］时，轨迹是线段［F1F2］；当常数小于［F1F2］时，没有轨迹.(2)双曲线：与两定点［Fl、F2］距离之差的绝对值等于常数［2a］,且［2a］—定要小于［F1F2］・当［F1F2］二［2a］时，轨
2、迹是以［Fl、F2］为端点的两条射线；当［FlF2>2a］时，则轨迹不存在.若去掉绝对值，其轨迹表示双曲线的一支.例1(1)已知定点［Fl(—3,0),F2(3,0)］且动点［P］满足［PF1+PF2二6］,则动点［P］的轨迹为()A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.一条线段(2)若动点［P(x,y)］满足［(x-6)2+y2-］［(x+6)2+y2］［二8］,则动点［P］的轨迹是()A.双曲线B.两条射线C.双曲线左支D.双曲线右支解析（1）由椭圆的定义可知，常数［2a］—定要大于［F1F2］时才
3、是椭圆,当常数［2a］等于［F1F2］时，轨迹是线段［F1F2］,故选D.（2）双曲线方程有两支，当没有绝对值时只表示其中的一支，根据题意故选C.2.圆锥曲线第二定义圆锥曲线的第二定义揭示椭圆、双曲线、抛物线之间的关系，它强调曲线上的点到焦点与到相应准线距离的关系.我们若理解不透彻，会将焦点与相应准线张冠李戴.定义:若平面上动点［P］到一个定点的距离与到一条定直线距离Z比为一个常数［e］,贝lh当［01］时，轨迹为双曲线；当［e二1］时，轨迹为抛物线，要注意定点、定直线是相应的定点、相应的定直线.
4、例2（1）已知双曲线方程为［3x2-y2=9］,双曲线右支上的点［P］到右焦点的距离为［3］,则点［P］到准线［x二-32］的距离为（）A.［32］B.［23］C.2D.［32+3］（2）已知椭圆方程为［x225+y29二1］,椭圆上一点［M］到左焦点的距离为6,则点［M］到右准线的距离为・解析此题易出错的原因是忽视了右焦点对应右准线，要看清题屮所给的焦点和准线是否相应,这需耍我们对第二定义的概念要清楚.（1）根据笫二定义，求出点［P］到右准线的距离为［32］,则点［P］到左准线［x二-32］的距
5、离为［32+3］・（2）根据第二定义，左焦点対应左准线先求出点［M］到左准线的距离［dl二152］,则点［M］到右准线的距离为M2二2X254-152=5］・二、忽视变量范围解决圆锥曲线综合性问题时，耍考虑圆锥曲线木身变量的范围，而在进行纯代数运算时往往容易忽视.例3已知曲线［C：y二20-x22］与直线［1］：［y—x+m］仅有一个公共点，求［m］的取值范围.错解曲线［C］化简得［x2+4y2=20］,由于曲线［C］与直线［1］只有一个公共点，联立方程得［y二20-x22y二-x+m］［?］［5
6、x2-8mx+4ni2-20二0］［?］［△二0］解得［m二±5］.正解方程［x2+4y2二20］与原方程［y二20-x22］并不等价,因为［y±0］,故原曲线［C］表示的是椭圆在［x］轴的上半部分•根据题意画出曲线图象.由图象可知［m二5或-25^m<25］.点拨在方程化简过程中，一定要注意变量的取值范围和等价性，数形结合有助于我们解决此类问题.三、考虑问题不周全在解决圆锥曲线冇关问题时，首先要对焦点位置进行判断，否则很容易造成经验性错误.在求解直线与圆锥曲线问题时，耍注意对直线与曲线位置进行判
7、断，尤其是特殊情况.例4设双曲线的渐近线方程为［y二±32x］,求双曲线的离心率.错解由双曲线的渐近线方程［y二±32x］知,[ba二32][?e二l+b2a2二132].正解单单由双曲线的渐近线方程是无法判断焦点位置的，木题出错的原因是同学们的惯性思维和思维不严谨的结果，应分两种情况：当焦点在［x］轴上时，［e二l+b2a2二132］・当焦点在［y］轴上时,［e二1+(23)2=133］.例5设点［P(x,y)］在椭圆［4x2+y2二4］上，求［x+y］的最大值和最小值.错解［・・・4x2+y2
8、二4,A4x2^4.］解得［TWxWl,］同理，［-2WyW2］・故［-3Wx+yW3］,最大值为3,最小值为［-3］・正解方法一：设［x+y二k］则［y二-x+k］,［k］为直线［y二-x+k］在［y］轴上的截距，由数形结合可知：当直线与椭圆在第一象限相切时［k］取得最大值，当直线与椭圆在第三象限相切时［k］取得最小值，故联立方程［4x2+y2二4y二-x+k］［?5x2-2kx+k2-4二0］・由于相切时取最大值和最小值，所以［△二(2k)2-4X5X(k2-4)二0］解得［k
