复合函数求导法的教学剖析与例题设计

《复合函数求导法的教学剖析与例题设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、复合函数求导法的教学剖析与例题设计【摘要】本文对复合函数求导法的教学进行了剖析，依据基本初等函数，精心设计了5组例题，并对例题的教学使用做了阐述，提高了复合函数求导法的教学质量.【关键词】复合函数求导法；教学；剖析；例题设计一、对复合函数求导法的剖析函数求导法则中复合函数求导法，除木身就是一种重要的求导方法外，也是推出其他求导法的基础（如隐函数求导法、对数求导法等）•从复合函数求导法的使用來看,由于中间变量的数量可以涉及多个,而且选择灵活性大、技巧性强，具体的解题过程还常常隐去中间变量的书写，所以，复

2、合函数求导法是整个函数求导法的重点和难点.1•复合函数求导法的核心关键词一一“中间变量”①中间变量的选择•准确选择中间变量，把复合函数“分解”为基本初等函数，是使用复合函数求导法的前提，也是关键所在•否则，就无法使用复合求导法求导；②中间变量数量•复合函数的中间变量多数情况下可能多于一个，即复合关系冇多层；③屮间变量的书写•初学时需要明确写出中间变量，采取不用连续等号表示的解题过程；当比较熟练后（特别是有多个中间变量时），解题过程却是采用不直接写出中间变量、用连续等号表示的“实用形式”;④使用复合函数

3、求导法的同时可能还涉及其他的求导法则•如求函数y二2xsinx2的导数就涉及乘法法则、求函数y=ln(x+x2+l)的导数中，在对中间变量u二x+x2+l求导时就涉及了加法法则.2•例题设计存在的主要问题例题的设计直接影响着教学的质量，目前复合函数求导法的教学例题普遍存在着以下问题：①例题设计没有很好的体现基木初等函数的作用.目前教材中例题的呈现形式是多种函数类型、单个中间变量与多个中间变量、写出中间变量和不写出中间变量三种知识方法相互掺杂，客观上增加了学习的难度•②教学的条理性、层次感体现的不够•复

4、合函数求导法的教学，分为只冇一个屮间变量的基础层次和多个屮间变量的熟练层次•③数学的思想和方法体现不够•复合函数的求导，就是将其转化为基本初等函数的求导，要通过例题的示范，渗透化归、类比等重要的数学思想和方法.二、例题设计与呈现次序经过多年的教学探索，我们按照基本初等函数的呈现次序，I韦I绕中间变量的选择这个核心，将整个教学过程分解为“基础”与“熟练”两个层次，设置下列5类例题.求下列函数的导数：例1幕函数系列三、五组例题的使用1・单组例题用于“初级”层次的教学“初级”层次的教学目标是：依据基木初等函

5、数的类型，使学生能准确的选择中间变量，在使用法则求导、还原变量并化简的基础上，逐渐由明确写出中间变量的“分析解题表示”过渡到不明确写出中间变量“实用形式”，基本掌握复合求导的思想和方法，形成思维定势.①预前知识的复习与教学引入•对基木求导公式进行拓展变形，为复合函数的求导法做好铺垫•将基本求导公式中自变量的表示符号X换写为字母u,t,V等，突破只用字母X表示自变量的思维定势.②例题的使用1）例1既用于法则的引入，也用于幕函数系列中间变量的确定•先让学生思考，然后师生共同分析：（1）中的函数y二X+1可

6、以使用加法法则求导,而y二（x+1）2,y二（x+1）3,可以按多项式的展开后使用加法法则求导；但y二（x+1）4与y二（x+1）n的求导那？随着次数的增高，再用展开法就显得比较麻烦，更重要的是没有解法上的创新•分析这两个函数的结构发现（以y二（x+1）n为例），只要令u二x+1,则函数y二（x+1）n就是y二un与u二x+1构成的复合函数，而y=un与u二x+1都是基本初等函数，其导数易求的（或者是已知的），那么y二（x+1）n的导数与y=un,u=x+l的导数冇何关系？这种情境式的引入方式，不仅起

7、到引入复合函数求导法的作用，重要的是让学生体会复合函数求导法能起到化繁为简、化难为易的目的，渗透化归的数学思想和方法，通过师生互动，对形如y二［“（x）］a（aH-l）的幕函数，如何求导、如何选择中间变量，学生很快就能掌握（要板书呈现求解过程）；2）例2用于进一步熟悉屮间变量的确定规律•通过分析与引导，学生很快就能掌握形如y二e©（x）或yp©（x）中间变量的选择方法以及类似复合函数的求导问题；3）例3—例5用于教师指导下的学生探索，进一步掌握中间变量的确定规律以及公式的使用•在前两个例题讲解的基础上

8、，教师加以适当的引导与提示，通过类比，学生很快就能解决例3—例5中函数中间变量的选择方法及求导.以上5组例题，紧扣基本初等函数，只冇一个屮间变量，重点突出，便于总结规律,形成思维定势；从教学方法上看，讲练结合，学生有思考和动手的机会，较快的完成初级层次的教学目标，为熟练层次的教学做好准备.小结如下：4）拓展提高•涉及两个方面：一是对上述例题的拓展变形，比如将正弦函数换成余弦函数、切函数、割函数又该如何选择中间变量？也可以引导学生将u二e（X）替换为其他的