复合函数求导法-教案.docx

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1、'.2.2.2复合函数求导法教学要求：理解并熟练掌握复合函数求导法，会用反函数求导数教学内容：一、复习提问：1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式，并能求出了一些简单函数的导数。但是求常见的初等函数的导数时，往往需要借助于求导法则，本节就将介绍这些求导法则。二、复合函数的求导法则1、比如求函数错误解答：正确解答：ysin2x的导数。ycos2xysin2x2sinxcosx2cos2xsin2x2cos2x对比一下，答案错误的原因是把2x当成了自变量。我们先把复合函数ysin2x进行分解为ysinu

2、,u2xdydydu。yducosu22cos2xdxdx1、求复合函数的导数可分两步：第一步（关键步骤）：先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变量。第二步：逐一分步求导。复合函数求导法则:设函数yf(u)在点u处可导，u(x)在点x处可导，则复合函数yf[(u)]在点x处可导，且有dyf(u)(x)或dydydudxdxdudx证明设变量x有改变量x，相应地，变量u有改变量u，从而y有改变量y.由于u可导，所以limu0，x0limylim(yu)limylimuyuuxx0xx0uxu0ux0x即yxyuux.现在利用复合函数求导法则求ysi

3、n2x的导数：ysinu，u2x（中间变量为u,自变量为x），即（对u求导)(对x求导)（回代）y(sinu)u(2x)x2cosu2cos2x如果复合函数的复合层次较多，法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。推论设函数yf(u)，u(v)，v(x)都是可导函数，则复合函数yf{[(x)]}也可导，且;.'.dy(v)(x)yuuvvxdydydudvf(u)或dudvdxdxdx注意：{f[(x)]}表示复合函数y对自变量x的导数，如y[sin(x21)]=2xcos(x21)f[(x)]表示复合函数y对中间变量u(x)的导数而ysin(x21)=c

4、os(x21)求复合函数的导数时，关键要分清复合函数的复合过程，认清中间变量。例1设函数y2cosx23，求y。解：因为y2cosx23是由y2cosu,ux23复合而成的，所以yyuuxdydu2sinu2x4xsinx23dudx复合函数求导法步骤：第一步(关键步骤)：将复合函数写成或分解为简单函数，辨明各步求导中函数与自变量各是什么？第二步：再逐层分步求导.当然熟练以后可以不必写出中间变量U、V，U和V写在心上。由内到外，层层求导。例2求函数yln(sin3x)的导数.解法1yln(sin3x)分解成三个简单函数：ylnu，usinv，v3x.yyuuvvx(

5、lnu)u(sinv)v(3x)x=1cosv3回代u1cos3x3sin3x3cot3x.应用lnu1uu解法2yxln(sin3x)xln(sin3x)sin3xsin3x应用x1(sin3x)3x3xsin3xx1cos3x3sin3x3cot3x.注:解法2把中间变量记在心上而没写出来.应用;.'.例3求函数yxex的导数.解yxxexxxexxxexxex12xe12xe1ex2xexxxexxx(xex)x应用复合函数求导法则练习求下列函数的导数1ysin12.ylnsinx3.yarctan3yx21ex4.x1解：y(ex)ex(sin1)exco

6、s1(1)12excos1sin1sin1sin1sin1xxxxx对于既有四则运算，又有复合运算的初等函数，则利用相应的求导法则.例4求函数yx2cos2xe3x的导数.应用运算法则解yx2cos2xe3xx2cos2xe3xx2cos2xe3xx2cos2xe3x2xcos2xe3xx2(2sin2x)e3xx2cos2x3e3x2xcos2xe3x2x2sin2xe3x3x2cos2xe3x.例5求函数ysin23xcos32xtan2x的导数.解y2sinx3coxs33coxs22sxin323xcos2x(sin22)x2sec223sin6xcos32

7、x6sin2xsin23xcos22x2sec22x求导时，若能对函数先化简，可使求导运算简便例6求函数y1的导数“先化简，再求导”x2x1;.'.解：先分母有理化，则yxx21xx21(xx21)(xx21)然后求导，得y11(x21)1112x21x2练习求ylnxlnx的导数三．反函数求导法则函数yf(x)的反函数：x(y)。一般说的y是指yx，写出来就是dy，即y是函数，x是自变量；但是dx对于x(y)如果x指的是xy，写出来就是dxyf(x)dy111，即x是函数，y是自变量。dxdxxy(y)dydy例7设函数yax(a0,a1)，证明：yaxlna