§2.6 指数与指数函数

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1、指数与指数函数1.根式的概念根式的概念符号表示备注n>1,且n∈N*.如果xn=a,那么x叫做a的n次方根.n为奇数时,正数的奇次方根是正数;负数的奇次方根是负数.零的n次方根是零负数没有偶次方根n为偶数时,正数的偶次方根有两个且互为相反数.忆一忆知识要点公式(1)适用范围:①当n为大于1的奇数时,a∈R.②当n为大于1的偶数时,a≥0.公式(2)2.两个重要公式忆一忆知识要点幂指数定义条件正整数指数零指数负整数指数正分数指数负分数指数a＞0,m,n∊N*,n＞1a＞0,m,n∊N*,n＞13.幂的有关概念忆一忆知识要点规定:0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.忆一忆

2、知识要点4.有理数指数幂的运算性质:(a＞0,b＞0,r,s∊Q)a>100,且a≠1）的性质：yxoy=1(0,1)yx(0,1)y=1o当x<0时,00时,00时,y>1.当x<0时,y>1.6.第一象限中,指数函数底数与图象的关系图象从下到上,底数逐渐变大.忆一忆知识要点指数式与根式的计算问题根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出

3、结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．＝2＋4×27＝110.指数函数的图象及应用故选D.D指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．分别作出这两个函数图象(如图)．方程的解可看作函数y＝2x和y＝2-x的图象交点的横坐标,1A函数y在(0,＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y是奇函数，故只有A正确．(2)k为何值时，方程

4、3x－1

5、

6、＝k无解？有一解？有两解？解:函数y＝

7、3x－1

8、的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．①当k<0时，直线y＝k与函数y＝

9、3x－1

10、的图象无交点,即方程无解；②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝

11、3x－1

12、的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0

13、3x－1

14、的图象有两个不同交点，所以方程有两解．【例3】设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值为14，求a的值.指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用指数函数问题一般要与其它函数复合.本

15、题利用换元法将原函数化为一元二次函数.结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性,从而获解.由于指数函数的单调性取决于底数的大小,所以要注意对底数的分类讨论,避免漏解．D07方程思想及转化思想在求参数中的应用上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，07方程思想及转化思想在求参数中的应用解:(1)依题意，函数f(x)的定义域为R，∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，【例3】(12分)设函数为奇函数.求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断f(x)在其定义域上的单调性.(2)由(1)知，设x1f(x1),

16、∴f(x)在R上是增函数.∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)＜f(x2).例4.求证函数是奇函数,并求其值域.证明：函数的定义域为R,所以f(x)在R上是奇函数.解：所以函数f(x)的值域为(-1,1).例4.求证函数是奇函数,并求其值域.知能迁移2设是定义在R上的函数.(1)f(x)可能是奇函数吗？(2)若f(x)是偶函数，试研究其单调性.解:(1)假设f(x)是奇函数,由于定义域为R,∴f(-x)=-f(x),即整理得所以a2+1=0,显然无解.所以函数f(x)不可能是奇函数.整理得又∵对任意x∈R都成立，得a=±1.(2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x

17、),当f(x1)0，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间.当a=-1时,同理可得f(x)在(-∞,0]上是增函数，当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性，任取x1,x2∈R且x1