2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质练习（含解析）新人教B版选修

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1、2.3.2　双曲线的几何性质课时过关·能力提升1.如果双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为(　　)A.43B.53C.2D.3解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a2+b2=c2即可求得离心率e=53.答案:B2.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为(　　)A.x24-y24=1B.y24-x24=1C.y24-x28=1D.x28-y24=1解析:由方程组a=2,2a+2b=2

2、2c,a2+b2=c2,得a=2,b=2.因为双曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为y24-x24=1.答案:B3.过点(2,-2)且与x22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为(　　)A.-x24+y22=1B.x24-y22=1C.-x22+y24=1D.x22-y24=1解析:由题意可设双曲线方程为x22-y2=k(k∈R,且k≠0),又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程为-x24+y22=1.答案:A4.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是

3、等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为(　　)A.1+2B.2+2C.3-2D.3+2解析:因为△F1PF2为等腰直角三角形,又

4、PF1

5、≠

6、PF2

7、,故必有

8、F1F2

9、=

10、PF2

11、,即2c=b2a,从而得c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,解:之,得e=1±2.∵e>1,∴e=1+2.答案:A★5.已知双曲线9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m=(　　)A.1B.2C.3D.4解析:双曲线9y2-m2x2=1(m>0),一个顶点为0,13,一条渐近线为3y-mx=0.

12、由题意知,132+m2=15,解得m=4.答案:D6.双曲线y225-x216=1的渐近线方程为　　　　　　　. 解析:利用公式y=±abx可得渐近线方程为y=±54x.答案:y=±54x7.已知双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为2,焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为　　　　　;渐近线方程为　　　　　. 解析:因为椭圆x225+y29=1的焦点坐标为(±4,0),所以双曲线的焦点坐标为(±4,0),即c=4.又ca=2,c2=a2+b2,所以a=2,b2=12,所以双曲线方程为x2

13、4-y212=1.所以渐近线方程为y=±bax=±3x,即3x±y=0.答案:(±4,0)　3x±y=08.若双曲线x2k+4+y29=1的离心率为2,则k的值是　　　　　. 解析:利用双曲线的定义及离心率公式,可求得k=-31.答案:-319.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程:(1)过点P(3,-2),离心率e=52;(2)焦点在x轴上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2=60°,S△PF1F2=123,离心率为2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设x2a2-y2b2=1(a

14、>0,b>0)为所求.由e=52,得c2a2=54.①由点P(3,-2)在双曲线上,得9a2-2b2=1.②又a2+b2=c2,③由①②③,得a2=1,b2=14.所求双曲线方程为x2-y214=1.若双曲线的焦点在y轴上,设y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)为所求.同理有c2a2=54,2a2-9b2=1,a2+b2=c2.解之,得b2=-172(舍去).故所求双曲线的标准方程为x2-y214=1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),因为

15、F1F2

16、=2c,而e=ca=2,由

17、双曲线的定义,得

18、

19、PF1

20、-

21、PF2

22、

23、=2a=c.由余弦定理,得(2c)2=

24、PF1

25、2+

26、PF2

27、2-2

28、PF1

29、·

30、PF2

31、·cos∠F1PF2=(

32、PF1

33、-

34、PF2

35、)2+2

36、PF1

37、·

38、PF2

39、·(1-cos60°),所以4c2=c2+

40、PF1

41、·

42、PF2

43、.又因为S△PF1F2=12

44、PF1

45、·

46、PF2

47、·sin60°=123,所以

48、PF1

49、·

50、PF2

51、=48.所以3c2=48,即c2=16,由此得a2=4,b2=12.故所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.★10.如图所示,已知F1,F2为

52、双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.分析:由于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,故只需求出ba的值即可,可以通过已知解Rt△F1F2P求得.解法一设F2(c,0)(c>0),把P(c,y0)代入方程得y0=±b2a,