2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案含解析新人教B版选修2-1.docx

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1、2.3.2　双曲线的几何性质学习目标　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点　双曲线的几何性质1．渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线．2．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．3．双曲线的几何性质见下表：标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,

2、0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a；虚轴长：2b渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．等轴双曲线的离心率是.(　√　)2．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(　×　)3．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的形状相同．(　√　)4．双曲线－＝1与－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(　×　)题型一　由双曲线方程研究其几何性质例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点　双曲线的简单几何性

3、质题点　由双曲线方程求a，b，c，渐近线解　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.引申探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶

4、点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.反思感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x.题型二　由双曲线的几何性质确定标准方程例

5、2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144，故其标准方程为－＝1.(2)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所

6、求双曲线的标准方程为－＝1.方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.反思感悟　由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．跟踪训练2　(1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(

7、2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程．解　(1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)．∵点M(3，－2)在双曲线上，∴－＝λ，即λ＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.题型三　直线与双曲线的位