2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习新人教A版

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1、3.1.3　空间向量的数量积运算课时过关·能力提升基础巩固1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(　　)A.AB与A1C1B.AB与C1A1C.AB与A1D1D.AB与B1A1解析:A,B,C,D四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.答案:A2在棱长为2的正四面体ABCD中,若E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF等于(　　)A.0B.12C.-1D.1解析:AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14(AB·AD+AC·AD)=14×(

2、2+2)=1.答案:D3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(　　)A.2B.3C.5D.7解析:由于EF=EA+AA1+A1F,所以

3、EF

4、=(EA+AA1+A1F)2=1+4+1+2×0+0-12=5,即EF的长是5.答案:C4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(　　)A.重合B.平行C.垂直D.无法确定解析:AC1=AB+AD+AA1,CE=CC1+C1E=AA1-12(AB

5、+AD),于是AC1·CE=(AB+AD+AA1)·AA1-12(AB+AD)=0-12-0+0-0-12+1-0=0,故AC1⊥CE,即AC1与CE垂直.答案:C5已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式可能不成立的是(　　)A.DA·PB=0B.PC·BD=0C.PD·AB=0D.PA·CD=0解析:①DA⊥ABDA⊥PA⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒DA·PB=0;②同①知AB·PD=0;③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒PA·CD=0;④若BD·PC=0,则BD⊥PC,又BD⊥PA,所以BD

6、⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故选B.答案:B6在正四面体ABCD中,BC与CD的夹角等于______________________. 解析:=180°-=180°-60°=120°.答案:120°7已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A1B·B1C=______________________. 解析:A1B·B1C=A1B·A1D=

7、A1B

8、·

9、A1D

10、·cos=2a×2a×cos60°=a2.答案:a28已

11、知在三棱锥O-ABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.证明:设OA=a,OB=b,OC=c.∵P,M分别为OA,BC的中点,∴PM=OM-OP=12(b+c)-12a=12[(b-a)+c].同理,QN=12(a+c)-12b=-12[(b-a)-c].∴PM·QN=-14[

12、b-a

13、2-

14、c

15、2].∵AB=OC,即

16、b-a

17、=

18、c

19、,∴PM·QN=0.∴PM⊥QN,即PM⊥QN.9如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量A

20、1C1与DE夹角的余弦值.解:设正方体的棱长为m,AB=a,AD=b,AA1=c,则

21、a

22、=

23、b

24、=

25、c

26、=m,a·b=b·c=a·c=0.∵A1C1=A1B1+A1D1=AB+AD=a+b,DE=DD1+D1E=DD1+12D1C1=c+12a,∴A1C1·DE=(a+b)·c+12a=a·c+b·c+12a2+12a·b=12a2=12m2.又

27、A1C1

28、=2m,

29、DE

30、=52m,∴cos=A1C1·DE

31、A1C1

32、

33、DE

34、=12m252m·2m=1010.能力提升1已知a,b是异面直线

35、,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为(　　)A.-6B.6C.3D.-3解析:∵a⊥b,∴a·b=(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=2k

36、e1

37、2+(3k-8)e1·e2-12

38、e2

39、2=2k-12=0,∴k=6.答案:B2如图,在正四面体ABCD中,E是BC的中点,则(　　)A.AE·BCAE·CDD.AE·BC与AE·CD不能比较大小答案:C3设A,B,C,D是空

40、间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,则△BCD是(　　)A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定解析:∵AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0.∴AB,AC,AD两两垂直.∴BC2=AB2+AC2,CD2=AC2+AD2,BD2=AB2+AD2,∴BC2