数学应用与建模初步（讲义）

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1、数学应用与建模初步胡建伦数学数学建模数学建模应用重庆市垫江第五中学2016年2月.'八—1—VRiJB1第1讲数学应用与建模课程的概述21.1原型与模型21.2数学模型及其分类21.3数学建模3第2讲初中阶段数学建模的主要内容72.1方程（组）模型72.2函数模型72.3不等式（组）模型72.4几何模型72.5概率模型82.6统计模型82.7其他模型8第3讲数学建模的分析方法和分析工具93.1数学建模的一般方法93.2数学建模初步的分析方法103.3数学建模初步的分析工具11第4讲数学建模的基本流程与步骤13第5

2、讲数学建模初步案例教学155.1数学建模解题步骤155.2数学建模例题教学16刖弓我国著名的数学家华罗庚曾经指出：“人们对于数学产牛枯燥无味、神秘难懂的卬象，原因之一便是脱离实际。”因此，我们在学习数学的时候都应该善于挖掘身边的牛活实例，将它们作为有效的学习资源，在做中学数学、在实践中体验数学，自主构建数学模型，感受数学的魅力，提高对数学学习的兴趣，并增强学习数学的自信心。全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学牛己有的经验出发，让学牛亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过

3、程，进而使学牛获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”强化数学建模的能力，不仅能使学牛更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象.数学课程应体现“问题情境——建立数学模型一一理解、应用与拓展”，让学牛亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.数学建模重视数学知识，更突出数学思想方法，让学牛通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，在获得对数学理解

4、的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展。木课程主要是帮助学牛用所学的初中知识建立数学模型来解决牛活中的实际问题，进而培养学生应用数学的意识。第1讲数学应用与建模课程的概述1.1原型与模型原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。1.2数学模型及其分类1.2.1数学模型数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一

5、个数学结构。具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学模型是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际

6、系统的基础。1.2.2数学模型的分类按照不同的分类标准可以得出不同的数学模型(1)按建立模型的数学方法分为初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型等等。(2)按模型的表现特性分为确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。(3)按建模目的分有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。(4)按人们对事物发展过程的了解程度分类分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。①白箱模型是指那些内部规律比较清楚的模型，如力学、热学、电

7、学以及相关的工程技术问题；②灰箱模型是指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方而都还不同程度地有许多工作要做的问题，如气彖学、生态学、经济学等领域的模型；③黑箱模型是指一些其内部规律还很少为人们所知的现彖，如生命科学、社会科学等方而的问题。但由于因素众多、关系复杂，也可简化为灰箱模型来研究。(1)按是否考虑模型的变化分为静态模型和动态模型。静态模型是指要描述的系统齐量之间的关系是不随时间的变化而变化的，一般都用代数方程来表达。动态模型是指描述系统各量之间随时间变化而变化的规律的数学表达式，一般用微分方程或差

8、分方程来表示。经典控制理论中常用的系统的传递函数也是动态模型，因为它是从描述系统的微分方程变换而来的。(2)按应用离散方法或连续方法分类分为离散模型和连续模型。模型中的时间变量是在一定区间内变化的模型称为连续时间模型，用微分方程描述的模型都是连续时间模型。在处理集中参数模型时，也可以将时间变量离散化，所获得的模型称为离散时间模型。离散时间模型是用差分方程描述的。(3)按是