数学建模讲义

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1、数学建模讲义微分方程模型微分方程模型1、人口预报问题3、作战模型4、捕食问题5、火箭发射问题………2、传染病问题6、药物吸收、真假绘画作品鉴定、交通管理/堵塞问题0、简例趣题下图是一个物体的顶部和前部视图物体的侧视图？？例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得：从而得出两阶微分方程：（a）这是理想单摆应满足的运动方程(a)是一个两阶非线性方程,不易求解.当θ很小时,sinθ≈θ,此时,可考察(a)的近似线性方程：MQPmg图3-1

2、(b)由此即可得出(b)的解为:θ(t)=θ0cosωt其中当时,θ(t)=0故有MQPmg图3-1(a)的近似方程例2市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型。假设在某一时刻t,商品的价格为p(t),它与该商品的均衡价格

3、间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格p(t)的变化率dp/dt与需求和供给之差成正比,并记f(p)为需求函数,g(p)为供给函数,于是其中为参数.一般我们假设需求与价格呈负线形关系，而供给与价格呈正线性关系，故可设,则上式变为其中均为正常数,其通解为为任意常数，可用初值条件确定。其中令，得，这就是(静态)均衡价格，显然它满足——即供需到达平衡。初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且单调趋近均衡价格;初始价格低于均衡价格时,动态价格就要逐步升

4、高,单调趋近均衡价格.进一步还可以分析出,若初始价格等于均衡价格,整个动态价格应保持不变.为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率，建立微分方程模型!离散化为连续，方便研究建模示例1如何预

5、报人口的增长——Malthus模型与Logistic模型背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年1908193319531964198219901995人口(亿)34.76710.111.312研究人口变化规律控制人口过快增长模型一：指数增长模型(Malthus模型)常用的计算公式马尔萨斯（1788--1834）提出的指数增长模型(1798)x(t)~时刻t人口r~人口(相对)增长率(常数)今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加人口按指数规律无

6、限增长!模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6（即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36

7、×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不

8、是常数(逐渐下降)模型2Logistic模型人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N)从而有：（*）r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。