高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2

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1、第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题9/8/2021数学与计算科学学院一、二次型的标准形二、合同的变换法三、小结§5.2标准形9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n－1元二次型结论成立.一、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式.1、（定理1）数域P上任一二次型都可经n=1

2、时，结论成立.下面考虑n元二次型9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院这里，是一个.的n－1元二次型.配方法9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院它是非退化的，且使9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院使它变成平方和于是，非退化线性替换由归纳假设，对有非退化线性替换9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院就使变成2）但至少有一个不妨设作非退化线性替换：9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院不为零.由情形1）知，结论成立.则这是一个的二次型，且的系数9/8/2021§5.2标准形数学

3、与计算科学学院这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.即3）由对称性，9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型经过非退化线性替换的一个标准形.称为9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院则解：作非退化线性替换例1、求的标准形.9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院或最后令则或再令9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院所作的非退化线性替换是即则9/

4、8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于证：对A的级数作归纳法.假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，分四种情形讨论：使C´AC为对角矩阵．即　　　　若A´＝A，则存在可逆矩阵n＝1时，为对角阵,结论成立.设一个对角矩阵.9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院这里这里A1为n－1级对称矩阵.9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院则这里是n－1级对称矩阵，9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院为对角矩阵.由归纳假设，存在可逆矩阵G，使为对角矩阵.令则令则C可逆，且为对角矩阵.9/8/2021§5

5、.2标准形数学与计算科学学院其中归结为情形1，结论成立.令，则3)但有一个则令显然2)但有一个9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院归结为情形1）.则4)由对称性,有于是为n－1级对称矩阵.9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院为对角矩阵.为对角矩阵.由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使令　　　　　　则9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院例2根据定理2，求例1中二次型的标准形.情形3)情形1)令解：的矩阵为9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院情形1)令令9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院为对角矩阵.9/8/2021§5

6、.2标准形数学与计算科学学院作非退化线性替换X＝CY，则即得　　　　　的标准形9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院二、合同的变换法（1）互换矩阵的两行，再互换矩阵的两列;1.定义：合同变换是指下列三种变换（2）以数k（)乘矩阵的第i行；再以数k乘（3）将矩阵的第i行的k倍加到第行，再将第列的k倍加到第列（).矩阵的第i列.9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院2.合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ.若为初等阵，则9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院对E施行同样的初等列变换便可

7、求得可逆矩阵C满足就相当于对A作s次合同变换化为D.所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，又注意到所以，9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院基本步骤：②对A作合同变换化为对角矩阵D对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C③作非退化线性替换X=CY，则即①写出二次型的矩阵A为标准形.D为对角阵,且9/8/2021§5.2标准形数学与计算科学学院注意：i）若a11≠0，作合同变换：将A的第一行的倍加到第j行，再将所得矩阵的第一列的倍加到第j列,j=2,3,….n则合同变换化对称矩阵为对角阵D时