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《扬大高等代数北大三版--第五章二次型课件.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章二次型学时:10学时。教学手段:讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的:基本内容:二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。教学目的:1、了解二次型的概念,二次型的矩阵表示。2、会化二次型为标准型,规范性。3、掌握二次型的惯性定理,正定二次型。本章的重点和难点:重点:化二次型为标准型,规范性。难点:正定二次型。10/8/20211课件5.1二次型的矩阵表示10/8/20212课件一问题提出平面解析一次曲线:Ax+By+C=0(直线);二次曲线:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F→经平移变换化成为au2+buv+cv2=
2、d→经旋转变换化成为a/x/2+b/y/2=d/(二次齐次多项式)→可根据二次项系数确定曲线类型(椭圆、抛物线、双曲线等);空间解析一次曲面:Ax+By+Cz+D=0(平面);二次曲面:(平移后不含一次项)→Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世纪上半期表示方法)→通过方程变形,选定主轴方向为坐标轴,可化简为a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/→据二次项系数符号确定二次曲面的分类10/8/20213课件更一般的问题:数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式,即标准型问题,是18世纪中期提出的一个课题→本章中心
3、问题:n元二次型化标准型(平方和)的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1数域P上n元二次齐次多项式(近代表示式)f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+a33x32+…+2a3nx3xn……………+annxn2称为P上n元二次型,简称二次型;当P=R时,为实二次型、当P=C时,为复二次型.10/8/20214课件*1f(x1,x2,…,xn)是Pn→P的n元函数;*2f(x1,x2,…,xn)=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2
4、x1+a22x2x2+…+a2nx2xn……………………………+an1xnx1+an2xnx2+…+annxnxn=f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a22x22+…+2a2nx2xn…………+annxnn.10/8/20215课件*3性质:1)在二次型f(x1,x2,…,xn)=X/AX中,矩阵A为对称矩阵;2)把一阶矩阵A=(a)看成数a,则一元二次型f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX;3)数域P上,f(x1,x2,…,xn)与n阶对称矩阵一一对应.证明分析:由*2可知,任一二次型都对应某对
5、称矩阵A,即*2给出对应法则σ:f(x1,x2,…,xn)→A.设f(x1,x2,…,xn)在σ下对应的对称矩阵为A,B,即f(x1,x2,…,xn)=X/AX=X/BX,故知A=B,即σ是n元二次型与n阶对称矩阵之间的映射.设A是数域P上任一n阶对称矩阵,则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型,即σ是满射,而σ为单射则是显然的,故σ是双射.□10/8/20216课件2线性替换平面解析中,当坐标原点和中心重合时,有心二次曲线一般方程为ax2+2bxy+cy2=f(例:13x2–10xy+13y2=72),将坐标轴逆时针旋转θ0(例:450),即有坐标旋转公式yy/
6、x/x10/8/20217课件定义2将变量x1,x2,…,xn用y1,y2,…,yn线性表示的变换称为由x1,x2,…,xn到y1,y2,…,yn的线性替换(简称变量的线性替换).*1线性替换的矩阵表示:X=CY,C称为线性替换(4)的矩阵;当C可逆时,称(4)为非退化(可逆)线性替换;C不可逆时,称(4)为退化(非可逆)线性替换,其中10/8/20218课件*2性质:4)若C可逆,则X=CY是可逆线性替换,且Y=C-1X也是可逆的线性替换;5)f(x1,x2,…,xn)=X/AX是P上的n元二次型,经线性替换X=CY化成f(x1,x2,…,xn)=Y/BY,则B=C/
7、AC.证明:f(x1,x2,…,xn)=X/AX=(CY)/A(CY)=Y/(C/AC)Y=Y/BY.由于B/=(C/AC)/=C/A/C//=C/AC=B→Y/BY是P上n元二次型,且B=C/AC成立.□6)二次型的秩在变量的线性替换下保持不变(性质5的推论)证明:如5),在线性替换X=CY下f(x1,x2,…,xn)=X/AX=Y/BY→B=C/AC,C可逆→A,B的秩相同,即二次型X/AX与Y/BY的秩相同→题设结论成立.□性质5给出矩阵之间的一种相互关系,故引入以下概念→10/8/20219课件三矩阵的合同关系定义2数域P上n阶矩