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《高等代数课件(北大三版)--第五章 矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章矩阵5.1矩阵的运算5.2可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.3矩阵的分块宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不用数学。——华罗庚5.1矩阵的运算一、内容分布5.1.1认识矩阵5.1.2矩阵的运算5.1.3矩阵的运算性质5.1.4方阵的多项式5.1.5矩阵的转置二、教学目的掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性质，并能熟练地对矩阵进行运算。掌握转置矩阵及其运算性质。掌握方阵的幂、方阵的多项式。三、重点、难点矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质。5.1.1认识矩阵称
2、为F上矩阵,简写:矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩阵…..,矩阵的应用非常广泛.设F是数域,用F的元素排成的m行n列的数表5.1.2矩阵的运算定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为定义2（矩阵的加法）给定两个矩阵A和B加法定义为:定义3（矩阵的乘法）给定一个矩阵和一个矩阵A和B的乘法定义为注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果的形状?5.1.3矩阵的运算性质矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C均为F上的矩阵，k，l为
3、数域F中的数）(1)加法交换律(2)加法结合律(3)零矩阵(4)负矩阵(5)数乘结合律(6)数乘分配律(7)乘法结合律(8)乘法分配律注意:矩阵的乘法不满足交换律,消去律:也不满足.满足:的两个矩阵称为可交换的.5.1.4方阵的多项式单位矩阵:主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵,记为或单位矩阵也可以记为.它有如下性质:方阵A的方幂:规定:设多项式那么,在多项式的等式中,用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.5.1.5矩阵的转置设把矩阵的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵,记为或转置有下面的性质:(9)(10)
4、(11)5.2可逆矩阵矩阵的乘积的行列式一、内容分布5．2．1可逆矩阵的定义5．2．2可逆矩阵的性质5．2．3初等矩阵的定义、性质5．2．4矩阵可逆的判别5．2．5逆矩阵的求法5．2．6矩阵乘积的行列式二、教学目的1掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别5.2.1可逆矩阵的定义定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵.例：A与B互为逆矩阵.注
5、1有零行或零列的矩阵不可逆.5.2.2可逆矩阵的性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一。证设B,C均为A的逆矩阵，则AB=BA=I,AC=CA=IB=BI=BAC=（BA）C=IC=C证注意到即得.证注意到即得.④A可逆，则②A可逆，则可逆，且由 有.证③A，B可逆，则AB也可逆，且.5.2.3初等矩阵的定义、性质定义2由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.n=4定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A;对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如1、交换A的i，j行相当于用.如2、把A的第i行乘以数k相当于用
6、.3、把A的第j行乘以k后加到第i行相当于用.即.定理2初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且引理1，则.（初等变换不改变可逆性）.定理3任一m×n矩阵A总可以通过初等变换化为证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为对（*）作第三种列变换即可化为5.2.4矩阵可逆的判别n阶矩阵A可逆证明：①A可逆,则可逆，无零行，即.反之，若A→I，由I可逆知A可逆.②A→I，即I→A即存在初等矩阵使注A可逆,则A可经初等行变换化为I.③由①A→I，④5.2.5逆矩阵的求法①行初等变换法A可逆，由，即存在初等矩阵，使即例1解：②公式法设令称则由行
7、列式的依行依列展开公式，有即若A可逆，则
8、A
9、≠0，从而即例2：故例3：求矩阵的逆矩阵.解法一利用公式因为计算每个元素的代数余子式所以,解法二行初等变换法.所以例4解矩阵方程其中解显然A是可逆的.先求出再在原方程两边左乘得所以注：当n>3时，求的计算量较大，因此公式（*）常用于理论的证明.5.2.6矩阵乘积的行列式引理5.2.6：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵①若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.②若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的形式，同理，可以把化为继续作第三种初等变
10、换，则可将A化为对角形矩阵，且定理：设A，B为n阶矩阵，则
11、AB
12、=
13、A
14、
15、B
16、证①若A为对角矩阵②对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化为对角矩阵，即存在初等矩阵使从而推广相当于对作第三种行初等变换.故定理A，B为m×n
