高等代数北大第三版1。9课件.ppt

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1、一、本原多项式二、整系数多项式的因式分解§1.9有理系数多项式问题的引入1.由因式分解定理，作为一个特殊情形：对则可唯一分解成不可约的有理系数多项式的积.但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个一般的方法.2.我们知道，在上只有一次多项式才是不可约多项式；在上，不可约多项式只有一次多项式与某些二次多项式；但在上有任意次数的不可约多项式．如如何判断上多项式的不可约性呢?3.有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．这是因为任一有理数可表成两个整数的商．事实上，设则可选取适当整数使为整系数多项式．若的各项系数有公因子，就可以提出来，得也即其中是整系数多项式，且各项系数没有

2、异于的公因子．一、本原多项式设定义若没有则称为本原多项式．异于的公因子，即是互素的，有关性质1．使其中为本原多项式．（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．2．Gauss引理定理10两个本原多项式的积仍是本原多项式．设是两个本原多项式．若不是本原的，则存在素数证：又是本原多项式，所以不能整除的每一个系数．反证法．令为中第一个不能被整除的数，即同理，本原，令为中第一个不能被整除的数，即又矛盾．在这里故　　是本原的．定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．二、整系数多项式的因式分解设整系数多

3、项式有分解式其中且证：令这里，皆为本原多项式，于是由定理10，本原，即从而有得证．设是整系数多项式，且是本原推论的，若则必为整系数多项式．令本原，即为整系数多项式．证：于是有，定理12设是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中是互素的，则必有是的有理根，从而又互素，比较两端系数，得证：∴在有理数域上，由上推论，有本原．所以，定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，而非充分条件．例1求方程的有理根.可能有理根为用综合除法可知，只有1为根．注意解：例2证明:在上不可约．若可约，但的有理根只可能是所以不可约．证：则　　至少有一个一次因式，也即有一个有理根．而矛盾．

4、定理13艾森斯坦因Eisenstein判别法设是一个整系数多项式，若有一个素数使得则在有理数域上是不可约的．若在上可约，由定理11，可分解为两次数较低的整系数多项式积证：又不妨设但或不能同时整除另一方面，假设中第一个不能被整除的数为比较两端的系数，得上式中　皆能被整除，矛盾．故　　不可约．例3证明：在上不可约．证：（令即可）．(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)例4判断（　为素数）在上是否可约．令则为整系数多项式．但解：在上不可约，从而在上不可约．即①Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而非必要条件．注意也就是说，如果一个整系数多项式不满足Eisen

5、stein判别法条件，则它可能是可约的，也可能是不可约的．②有些整系数多项式　不能直接用Eisenstein判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的代换　　　　　　　　　　使　　　　　　　满足Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式不可约．有理系数多项式　在有理系数上不可约命题在有理数域上不可约．多项式例5证明：在上不可约．取证：作变换则在Ｑ上不可约，所以在Ｑ上不可约．由Eisenstein判别法知，对于许多上的多项式来说，作适当线性代换后再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的多项式　　　无论作怎样的代换　　　　　都不能使满足爱森斯坦因判

6、别法的条件，即找不到相应的素数说明：办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在上的如，练习P为素数，证明:在Ｑ上不可约．