北大高等代数1-02

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1、第一学期第二次课§2一元高次代数方程的基础知识1.2.1高等代数基本定理及其等价命题1.高等代数基本定理设为数域。以表示系数在上的以为变元的一元多项式的全体。如果，则称为的次数，记为。定理（高等代数基本定理）C的任一元素在C中必有零点。命题设是C上一个次多项式，是一个复数。则存在C上首项系数为的次多项式，使得证明对作数学归纳法。推论为的零点，当且仅当为的因式（其中）。命题（高等代数基本定理的等价命题）设为C上的次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在个复数，使证明利用高等代数基本定理和命题1.3，对作数学归纳法。2．高等代数基本定理的另一种表述方式定义设是一个数域，是一个

2、未知量，则等式（1）（其中）称为数域上的一个次代数方程；如果以带入（1）式后使它变成等式，则称为方程（1）在中的一个根。定理（高等代数基本定理的另一种表述形式）数域上的次代数方程在复数域C内必有一个根。命题次代数方程在复数域C内有且恰有个根（可以重复）。命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式，，如果存在整整数,,及个不同的复数，使得，则。1.2.2韦达定理与实系数代数方程的根的特性设，其中。设的复根为（可能有重复），则所以；；我们记；；；（称为的初等对称多项式）。于是有定理2.5(韦达定理)设，其中。设的复根为。则；；命题给定R上次方程，，如果i是方

3、程的一个根，则共轭复数i也是方程的根。证明由已知，.两边取复共轭，又由于R，所以.推论实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。证明因为它的复根（非实根）必成对出现，已知它在C内有奇数个根，故其中必有一根为实数。