高等代数北大版1-4.ppt

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1、§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式一、公因式最大公式二、最大公因式的存在性与求法§1.4最大公因式三、互素四、多个多项式的最大公因式i)1．公因式:若满足:且2．最大公因式:若满足：ii)若，且，则则称为的最大公因式．则称　为　　　　的公因式．一、公因式最大公因式①的首项系数为1的最大公因式记作:注：②，是与零多项式0的最大公因式．③两个零多项式的最大公因式为0．④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大

2、公因式是唯一的.若为的最大公因式，则，c为非零常数．若不全为零，则二、最大公因式的存在性与求法若等式成立，则与有相同的公因式,从而．引理：定理2对，在中存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．若有一为0，如，则就是一个最大公因式．且考虑一般情形：用除得：其中或.若，用除，得：证：若，用除，得如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，因此，有限次后，必然有余式为0．设其中　或．即于是我们有一串等式从而有再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去再并项就得到说明:①定理２中用来求最大公因式的方法，通常称为辗转相除法．②定理２中最大公因式中的

3、不唯一.③对于，使,但是未必是的最大公因式.如:，则取，有取，也有取,也有成立．事实上,若则对，④若，且则为的最公因式．设为的任一公因式，则证：从而即∴为的最大公因式．例1求，并求使解:且由得例2.设求，并求使因式，即就可以)，这是因为和具有完全相同的若仅求，为了避免辗转相除时出现注:分数运算，可用一个数乘以除式或被除式(从一开始为非零常数．则称为互素的(或互质的)．1．定义:三、互素若互素除去零次多项式外无说明:由定义，其它公因式．定理3互素，使2．互素的判定与性质证：显然．设　　为　　　　的任一公因式，则从而又故定理4若，且，则证：使于是有又推

4、论若，且又，则证:，使于是，使而由定理4有从而若满足:定义i)则称为的最大公因式．ii)若则四、多个多项式的最大公因式注：表示首1最大公因式．②，使③的最大公因式一定存在．④互素　　　　　　　　　　使附:最小公倍式设，若i)ii)对的任一公倍式，都有则称为的最小公倍式．注:的首项系数为1的最小公倍式记作: