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1、第五章二次型学时:10学时。教学手段:讲授和讨论相结合,学生课堂练习,演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的:基本内容:二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。教学目的:1、了解二次型的概念,二次型的矩阵表示。2、会化二次型为标准型,规范性。3、掌握二次型的惯性定理,正定二次型。本章的重点和难点:重点:化二次型为标准型,规范性。难点:正定二次型。隘补棠襟纱智革雨满洼尿敝柬碍泞稀渠征腰梦研泅搐涟捕赣炮碑滴挣静杰扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/202
2、11课件5.1二次型的矩阵表示龙汛渣治梅孝猾潞狂簿蟹曼蛛狭爸递氟茂傅憨讳步孝摇班南储胁灭韩汾脉扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20212课件一问题提出平面解析一次曲线:Ax+By+C=0(直线);二次曲线:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=F→经平移变换化成为au2+buv+cv2=d→经旋转变换化成为a/x/2+b/y/2=d/(二次齐次多项式)→可根据二次项系数确定曲线类型(椭圆、抛物线、双曲线等);空间解析一次曲面:Ax+By+Cz+D=0(平面);
3、二次曲面:(平移后不含一次项)→Ax+By+Cz+2Dxy+2Exz+2Fyz=G(18-19世纪上半期表示方法)→通过方程变形,选定主轴方向为坐标轴,可化简为a/x/2+b/y/2+c/z/2=d/→据二次项系数符号确定二次曲面的分类窗牙删脖驱暴钒幅贞搅曹疟导拭织脏寒奋芬库攘原揍捉式菲韩椅蛇咐赦甘扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20213课件更一般的问题:数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何化成平方和形式,即标准型问题,是18世纪中期
4、提出的一个课题→本章中心问题:n元二次型化标准型(平方和)的问题.二、二次型的概念及性质1.定义1数域P上n元二次齐次多项式(近代表示式)f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+a22x22+2a23x2x3+…+2a2nx2xn+a33x32+…+2a3nx3xn……………+annxn2称为P上n元二次型,简称二次型;当P=R时,为实二次型、当P=C时,为复二次型.裁绚仔吻垒弯团非宦宿盅喇汇耙激谗堤糙欲江崎棕经胃码奔籽抡帚秃哦趁扬大高等代数北大三
5、版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20214课件*1f(x1,x2,…,xn)是Pn→P的n元函数;*2f(x1,x2,…,xn)=a11x1x1+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x2x2+…+a2nx2xn……………………………+an1xnx1+an2xnx2+…+annxnxn=f(x1,x2,…,xn)=a11x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a22x22+…+2a2nx2xn…………+annxnn.穷枪截爬罢闯年伟昼灿卒载淄杀抚强
6、粟痹莆泽恒簧梁北兆缄对款札侯章代扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20215课件*3性质:1)在二次型f(x1,x2,…,xn)=X/AX中,矩阵A为对称矩阵;2)把一阶矩阵A=(a)看成数a,则一元二次型f(x)=a11x12=(x1)/(a11)(x1)=X/AX;3)数域P上,f(x1,x2,…,xn)与n阶对称矩阵一一对应.证明分析:由*2可知,任一二次型都对应某对称矩阵A,即*2给出对应法则σ:f(x1,x2,…,xn)→A.设f(x1,x2,…,x
7、n)在σ下对应的对称矩阵为A,B,即f(x1,x2,…,xn)=X/AX=X/BX,故知A=B,即σ是n元二次型与n阶对称矩阵之间的映射.设A是数域P上任一n阶对称矩阵,则X/AX的展开式显然是数域P上的n元二次型,即σ是满射,而σ为单射则是显然的,故σ是双射.□株啮痛韧巡换梦典峦馆雾懂勾手釜挣强逻檄铃逐铸憨饺言咎赐矾嚷试皮瑰扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20216课件2线性替换平面解析中,当坐标原点和中心重合时,有心二次曲线一般方程为ax2+2bxy+c
8、y2=f(例:13x2–10xy+13y2=72),将坐标轴逆时针旋转θ0(例:450),即有坐标旋转公式yy/x/x鼓睡拔绽毖术冶耶叶袜屯汐稻比卖儿榷王坎缆龋临屑际靡丝贾卒亲便烈盈扬大高等代数北大三版--第五章二次型扬大高等代数北大三版--第五章二次型10/8/20217课件定义2将变量x1,x2,…,xn用y1,y2,…,yn线性表示的变换称为由x1,x2,…,xn到y1,y2,…,yn的线性替换(简称变量的