高等代数§5.4正定二次型

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1、一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.4正定二次型四、小结、正定二次型则称f为正定二次型.如，二次型是正定的；不是正定的．但二次型一组不全为零的实数都有1、定义：实二次型若对任意2、正定性的判定1）实二次型正定2）设实二次型f正定证：充分性显然.下证必要性，若f正定，取则经过非退化线性替换X＝CY化成则，3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.任取一组不全为零的数令证明：设正定二次型所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，，所以同理，若正定，则正定.反之，实二次型可经过非退化不全为0

2、.即线性替换变到实二次型秩＝n＝（的正惯性指数）.4）(定理5)n元实二次型正定证：设经非退化线性替换变成标准形由2),正定即，的正惯性指数p＝n＝秩.规范形为5）正定二次型　　　　　　　的标准形为二、正定矩阵1、定义设A为实对称矩阵，若二次型正定二次型的规范形为是正定的，则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的判定2)实对称矩阵A正定1）实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.A与E合同,即存在可逆矩阵C，使可见，正定矩阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵C，使3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.即，D与E合同.为任一正对角矩

3、阵，则若例1、设A为n阶正定矩阵，证明（5）若B亦是正定矩阵，则A＋B也是正定矩阵；（2）　　　　是正定矩阵；（1）是正定矩阵；（3）　是正定矩阵；（4）是正定矩阵（m为任意整数）；证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使于是有，故，正定.（2）由于A正定，对　　　　　　　都有因此有令故，　正定.即，与单位矩阵E合同.则Q可逆，且，由（1）（2）即得　正定.（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使，于是当m＝2k时，即，　与单位矩阵E合同，所以正定.（4）由于A正定，知　为n阶可逆对称矩阵，（5）由于A、B正定，对　　

4、　　　　　都有因此有故，A＋B正定.当m＝2k＋1时，即，　与正定矩阵A合同，而A与单位矩阵E合同，所以　与E合同，即　正定.3、正定矩阵的必要条件1）实对称矩阵正定取正定.证：若A正定，则二次型则反之不然.即，　　　为对称矩阵，且但A未必正定.　如所以A不是正定的.注意当　　　　　时，有2)实对称矩阵A正定但不是正定二次型.如注意证：若A正定，则存在可逆矩阵C，使从而反之不然.即实对称矩阵A，且A未必正定.4、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩阵称为A的第k阶顺序主子式.3）k级行列式称为A的一

5、个k阶主子式.即行指标与列指标相同的k阶子式5、（定理6）A的顺序主子式Pk全大于零.正定实二次型证:必要性.设正定，对每一个k令是正定的，从而正定.对任意一不全为零的数有充分性：对n作数学归纳法.n＝1时，　正定.结论成立.假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使令则也全大于零.设则令再令则由判定充要条件3).知A正定，所以正定.再令则有两边取行列式，得又>0，即　为正对角矩阵.例2、判定下面二次型是否正定.其顺序主子

6、式正定.解：的矩阵解：的矩阵A的第k阶顺序主子式Pk（习题7）正定.例3、证明：若实对称矩阵A正定，则A的任意一个k阶主子式证：作二次型（习题9）其中，对任意一不全为零的数,有从而，由于A正定，有　　　　　　　　　　正定，即有行列式大于零，即即，　　　　　　是正定二次型，因此其矩阵的三、n元实二次型的分类设n元二次型若对任意一组不全为零的实数都有②　，则称为半正定二次型.③　，则称为半负定二次型.①则称为负定二次型.既不是半正定，也不是半负定，则称为1．定义不定二次型.注：①正定矩阵②负定矩阵③半正定矩阵④半负定矩

7、阵⑤不定矩阵相应于二次型的分类，n级实对称矩阵可分类为：1）实二次型正定负定；实对称矩阵A正定－A负定.半负定；2）实二次型半正定实对称矩阵A半正定－A半负定.2、判定3）定理7①半正定；(或A半正定；)②秩=秩(A)=（正惯性指数）；③A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使则下列有条件等价：④存在，使⑤A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）由此可得，A半正定（习题14）设n元实二次型四、小结1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二次型；基本概念2、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；基本

8、结论1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、半正定、半负定、不定）性不变.负定（半负定）.2、实二次型正定（半正定）3、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX正定A与E合同，即存在可逆阵C，使A＝C´C.f的正惯性指数p等于nA的各级顺序主子式全大于零.实对称矩阵A半正定4、实对称矩阵A正定存在，使5、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX半