第4章 弹性力学基本方程和一般原理

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1、§4.1广义胡克定律§4.2弹性力学的基本方程及求解思路§4.3边界条件与界面条件§4.4弹性力学的一般原理第四章弹性力学基本方程和一般原理应力与应变关系取决于材料的物理性质，即物质的本构特性，统称为本构方程或者本构关系。单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定。而复杂应力状态难以通过实验确定。§4.1广义胡克定律广义胡克定律——各向异性材料应力应变一般关系各向异性的复合材料在工程中的应用日益广泛。物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称。数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中

2、都一样。金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料。弹性力学主要讨论各向同性材料。各向同性弹性体（1）应变-应力公式：应力表示的本构方程E为弹性模量(杨氏模量)，G为剪切模量，v为横向变形系数（泊松比）。各向同性材料广义胡克定律其中，λ,G称为拉梅(Lame)常数。（2）应力-应变公式：应变表示的本构方程§4.2弹性力学的基本方程及求解思路线性弹性力学基本方程包括平衡方程、几何方程、应变协调方程和本构方程。平衡方程（3个）：几何方程（6个）---应变和位移的关系：或张量形式：应变协调方程（其中独立的方程有3个）：本构

3、方程（6个）---应力和应变关系：（1）应变-应力公式（2）应力-应变公式弹性力学的基本解法：对上述偏微分方程组的求解，通常消去部分未知数，分为：（1）位移解法（2）应力解法（3）应力函数解法。（1）位移解法：以3个位移分量为未知量位移取连续函数，则应变协调方程自动满足。由几何方程求得应变，再代入本构方程，得到应力再将应力代入平衡方程，就得到位移形式的3个平衡方程，称为拉梅-纳维（L-N)方程其中：是拉普拉斯算子（2）应力解法：力法以6个应力分量为未知函数平衡方程仅含应力分量，但方程数只有3个，而未知函数有6个，因此需要

4、补充方程。由本构方程可求应变，再代入应变协调方程，即得到应力协调方程（其中有3个是相互独立的）：Chapter6.4（3）应力函数解法：在应力解法中也可以引进某些能自动满足平衡方程的函数，而应力分量可由函数偏导数的组合来确定（故称为应力函数），最终把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。则平衡方程自动满足，故就是平面问题中的艾瑞(Airy,G.B.)应力函数。Chapter6.4对于二维弹性力学无体力问题，可令应力表达式为Chapter6.4综上所述，应力函数解法既保留了应力解法的优点(能直接求解应力分量)，又吸收了位

5、移解法的思想(能自动满足平衡方程，基本未知量降为3个)，所以是弹性理论中最常用的解法之一。位移应力应变几何方程本构方程应力公式应力函数协调方程平衡方程红线：位移解法蓝线：应力函数解法Chapter6.4位移解法与应力函数解法的求解思路圈表示物理量，框表示关系式，双框表示最后导出的定解方程，实箭头表示推导过程，虚箭头表示自动满足。应力函数解法Chapter6.4几何方程本构方程平衡方程满足应力公式积分（位移单值条件）协调方程满足解出解出自动满足自动满足Chapter6.1常见的三种边界条件：（1）S处处给定外部作用的面力

6、边界条件：边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式不能消除刚体位移；要满足整体平衡条件。§4.3边界条件与界面条件Chapter6.1分量形式为：当时称为自由表面，是力边界的特殊情况。集中力可化为静力等效的在微小面积上的均布表面力。集中力矩化为静力等效的非均布（线性）表面力。Chapter6.1（2）Su处处给定位移约束的位移边界条件：域内位移场的边界值应等于给定位移约束值：有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。Chapter6.1（3）在部分边界

7、S上给定外力，部分边界Su上给定位移的混合边界S。这时要求对于弹性动力学问题，还应给定初始条件：初始位移和初始速度。2.界面条件：界面：如果弹性体由两种以上材料组成，则不同材料间的交界面称为界面。有时，物体虽由同样材料的两部分组成，两者的连接面也称为界面。界面上的位移和应力的传递特性由界面条件给出。在同一点、同一方向上有位移连续和应力连续的两个要求，故界面连续条件的数目是相应边界条件数的两倍。3.对称与反对称条件：对于材料均匀、几何形状、约束条件均对称于几何对称面的物体，则有如下性质：51chapter3.6对称载荷作

8、用：变形后位移和应力场也对称于对称面；反对称载荷作用：变形后位移和应力场也反对称于对称面。56chapter3.6对称和反对称条件：4.接触条件：接触条件包括两个方面：（1）不可嵌入条件：两个表面可以接触、滑移或脱离，但不能相互嵌入。（2）面力条件：两物体的法向接触应力，只能是压应力。若是拉应力则表示此接触面应该脱离