4.弹性力学基本方程

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1、弹性力学基本方程成都大学张永强基本内容1.弹性力学基本假定2.平衡方程3.几何方程4.本构方程5.边界条件为突出所处理问题的实质，使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定（理想化）(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。（偏析）(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(is

2、otropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4)线弹性(1inearelasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5)小变形(smalldeformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况

3、下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。1平衡方程弹性体中任意一点达到应力平衡时：Lσp0L微分算子σ应力p体积积适合二维或者三维问题对平衡微分方程的说明⑴代表A中所有点的平衡条件，因位（，）∈A；⑵适用的条件--连续性，小变形；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。⑸比较:理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。从何而来？对于三维问题，弹性

4、力学基本方程为如下形式。1.平衡方程由x，y，z三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy，dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为单位面积，x方向力合成，正应力，切应力2几何方程表征质点位移与应变之间的关系Lu--应变u--质点位移矢量二维或者三维从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。(3)定义夹角的变化P'A’线与PA线

5、的夹角为在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有3本构方程材料应力应变的关系D应变D弹性矩阵本构方程(constitutiveequation)，反映物质宏观性质的数学模型4边界条件(求解的前提)Fu面力和集中力边界F--位移边界u弹性体V的全部边界为S，一部分边界上已知外力pxpypz称为力的边界条件，这部分边界用Sσ表示；另一部分边界上弹性体的位移w,v,u已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用Su表示

6、。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即求解的前提