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《弹性力学基本方程和岩石力学介绍.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、(2.6)第二章弹性力学的基本原理§2.1应力分析2.1.1应力与应力张量应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P的周围取一微元-：S,设.IS的外法线为V,,S上的力为.汀，如极限
2、叫.汀/.IS=T、存在，则称T为P点在该截面上的应力矢量。考察三个面为与坐标面平行的截面(即以Xi,X2,X3三个坐标轴为法线的三个截面),T(1),T⑺，T⑶分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有(i)(i,j=1,2,3)(2.1)7(2.6)7(2.6)则理解为由此得到(2.2)这里的张量运算形式满足“求和约
3、定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，3对所有同类求和，即匚jej应理解为二。这样的求和指标j称之为假指标或哑指标。j土°11°12°13°XX”xyCij=021CT22口'23或▽j=可yx°yyJ1口31°32°33丿"xJy匚丿九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量：在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。
4、2.1.2柯西(Cauchy)方程记S为过P点的外法向为n的斜截面。外法线n的方向可由其方向余弦记为：・n1=cos(n,xj,:n2=C0S(n,X2),-n^cos(n,X3)。设此斜截面「ABC的面积为S,则如图2.1,过此点所取的小四面体OABC另外三个面为与坐标面平行的截面(即以X1,X2,X3三个坐标轴为法线的三个截面),其面积分别为^OBC:St=Scos(n,xj=Sctn1gAC:S2=Scos(n,x2)=S£2(2.3)^OAB:S3=Scos(n,x3)=San3；此截面上的应力矢量记为T(n),即(n)(n)Tej(2.
5、4)另外三个面上的应力矢量分别为-T(1),-T⑵，-T(3)。考虑此微元(四面体OABC的平衡，其平衡方程为T(n)T(1)S1'T⑵S2T(3)-Saf丄S，h=0(2.5)3其中f为作用于此单元上的体力，h为O点至截面ABC的垂直距离，-!sh为此微元的体积。当7(2.6)从而得此四面体微元无限缩小时，上式中最后一项为更高阶的无穷小量，可略去不计,n3T(n)=T⑴On1+T⑺62+T⑶将(2.1)代入,就得到(n)__Tipf-niej与(2.4)比较就得到T(n)的坐标分量与应力分量间的关系为：Tjni：•ij这就是柯西(Cauchy)
6、公式，写成矩阵形式就是:二2232”-'33或zyxz斜截面上总应力在法线方向上的分量(正应力)为-I-1-njTj(n)—JnjJnjij或将:'n1,:-n2^'n3写成l,m,n,l2—切线方向上的分量(剪应力)'%=J(T(n)2YdT〉2+(T2(n)222m；「22n二332lm；「122mn；「232nl；「31(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)(2.11)(2.12)图2.17(2.6)7(2.6)2.1.3坐标变换建立新的正交坐标系X；,X2,X3,并将上面所述的斜截面作为一个新的坐标面为，新坐标轴x1,X2,X3与原坐
7、标轴为，X2,X3之间的夹角余弦如下表示：X1X2X3x182x1並2x3比1%2则上面的应力矢量成为T(1)将应力分量从原坐标系o-xyz变换到新坐标系o-x'y'z'，(2.10)成为(1)-1^:'1jTj二m(2.13)同理7£门2•二〉2jT(1)=：'1H'2(2.14)33/二13,=：'3jTj(1)=1^'3jJij一般地，有上式为应力张量坐标变换式,用矩阵表示为°1'22'3'3'3'(i)(2.15)Q'1:-2'2'"-'32:-11=>21丿03*1=「ii^jj匸ij：'12>22：'32■12"-'22■3213-l
8、-11：'21：'31-23"-'33>12:-13二22：'23上式用在具体计算时比较方便。在理论推导中，用应力张量的变换符号表示比较方便:其中:-为新坐标中Xi与旧坐标中Xi之间夹角的方向余弦。-■>32(2.16)剪应力互等定理：设体积微元(小长方体)的三个边长各为dx1、dx2、dx3，作用于此体积元上所有的力(包括惯性力)对于任一轴的矩的代数和必然为零。因而得Gj-「i(2.17)这就是剪应力互等定理。它表明，应力张量是对称张量。2.1.4主应力与应力张量不变量如果在某一截面上剪应力为零，则该截面的法向称为主方向，相应的截面称为主平面。
9、主平面的正应力为主应力。设方向n为主方向，其方向余弦为(n1>n2、n3),此面上的主应力为；「，则TV=▽nT2(n)=厂n2，Ts(
