弹性力学的基本方程

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1、第二章弹性力学的基本方程和一般原理§2-1载荷　应力§2-2平衡（运动）微分方程§2-3斜面应力公式　应力边界条件§2-4位移　几何方程§2-5广义Hooke定律§2-6弹性力学问题的一般提法§2-7指标表示法§2-8迭加原理§2-9弹性力学问题解的唯一性原理§2-10圣维南原理§2-1载荷　应力1.外力的表示外力：直接施加在物体上引起物体的变形与内力．根据外力作用区域分为体积力和表面力体积力：分布在物体的体积内，作用在物体内的所有质点上，例如重力、惯性力、电磁力等。体力矢量表示为：表面力：作用在物体表面

2、上的外力，简称面力。例如，液体或气体的压力，固体间的接触力等，通常用面力矢量2.应力在载荷的作用下，物体的各部分之间要产生相互作用，这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力，称为内力。弹性体内一点内力集度表示为：注意：同一点不同截面上的内力不同．2.应力分量应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正，负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正；反之为负。应力分量：1.微元体：首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标面的平行平面截出一个微小的平行六面体单元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如

3、图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量仍用和表示。§2-2平衡（运动）微分方程2.力平衡微分方程由　　　　得：又称纳维叶(Navier)方程。3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。3.运动微分方程。如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。运动微分方程：§2-3斜面应力公式　应力边界条件过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面的面积为dA，则三个负面的面积分别为1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：将各面面积代入得：同理可得：上

4、式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。2.斜面上的正应力与剪应力3.边界条件上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦．§2-4位移　几何方程1.位移物体内各点位置的改变量称为位移。用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：(1)物体刚体位移(2)物体内质点间相对位移2.应变线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表示，即方向线元的正应变分别用,正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y

5、、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用，，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。３.几何方程几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变－位移关系．物体变形的位移及在坐标面上投影以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系P点的邻近点A和B的坐标分别为(x

6、+dx,y,z)和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开：Ａ点：Ｂ点：在小变形条件下：在小变形条件下同例分析平面yoz和平面zox可得：方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程§2-5广义Hooke定律1.简单应力状态简单拉压：纯剪切：2.复杂应力状态3.体积应变称为体积应变4.用应变表示应力同理令则于是式中中称为拉梅常数注意：是应变张量分量而不是剪应变分量．上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律上式还可进一步写成：§2-6弹性力学问题的一般提法我们通过对平衡

7、、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系；又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程运动微分方程：(2)几何方程方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程(3)应力-应变关系(本构关系)应力-应变关系(本构关系)用应变表示的应力-应变关系三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。（4）边界条件（ⅰ）应力边界条件（ⅱ）位移

8、边界条件（ⅲ）混合边界条件§2-7指标表示法力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导采用指标表示。1.指标符号具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。位移分量：u、v、w可以写成，缩写后为坐标：x、y、z可以写成，缩写后为单位基矢量：可以写成，缩写后为应力分量：可以写成缩写后为应变分量：可用表示由此，向量可表