弹性力学的基本理论

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1、第一章弹性力学基础弹性力学的研究内容§1-1弹性力学的研究内容及基本方法弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等作用而发生的应力和应变，以及与应变有关的位移。弹性力学的任务与材料力学、结构力学的任务一样，弹性力学的任务是分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。课程研究对象研究的主要内容弹性力学弹性体梁、柱、坝体、板、壳等受力体的应力、应变和位移的精确分析材料力学杆状构件梁、柱等杆件在拉、压、弯、扭、剪状态下的应力和位移理论力学刚体刚体的静、动力学（约束力、速度、加速度）分析结构力学杆

2、系结构桁架、刚架等杆系结构的约束力、内力与位移的计算塑性力学弹塑性体结构的弹塑性分析表1不同力学课程主要研究对象和内容的比较弹性力学的基本假设与基本定律连续性假设完全弹性假设无初应力假设基本假设匀质和各向同性假设小变形假设基本定律牛顿定律几何连续性定律物性定律⇨应力和应变之间的关系(物理方程)动量平衡原理⇨平衡(运动)微分方程动量矩平衡原理⇨应力张量的对称性作用与反作用定律⇨⇨位移和变形的关系(几何方程)⇨位移边界条件弹性力学的基本方法从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确

3、定解中的常数。按照方程中保留的未知量，求解方法可分为应力法（以应力为未知量）位移法（以位移为未知量）混合法（同时以应力和位移为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：有限元法，有限差分法，边界元法等学习弹性力学的目的理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本方程、基本解法。能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工程服务。能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分法、差分法和有限单元法的理解。为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。弹性力学的发展史自学弹性力学中的几个基本概念外力

4、体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也可以是集中力物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内产生抵抗变形的力，称为内力。F1F2ⅡⅠF1—Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力F2—Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力F1和F2大小相等，方向相反。内力、应力及应力张量截面单位面积上的内力称为应力。应力及应力张量（续）t称为作用在P点处以n为外法线的截面上的应力向量。应力向量t不仅依赖于P点的坐标，而且还依赖于截面的法线方向n。在物体内的同一点P，不同截面上的应力向量是不同的。如果已知过某点三个相互垂直截面上的三

5、个应力向量，则过该点任何其他方向截面上的应力向量均可求出。即这三个相互垂直的应力向量完全确定了该点的应力状态。正应力用表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个坐标角码。剪应力用表示，并加上两个坐标角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。应力的表示及正负号的规定正应

6、力－垂直于作用面的分量剪应力－在作用面内的切向分量剪应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力，是互等的（大小相等，正负号也相同）。证明：a、b分别为前后两个面的中心。连线ab，并以之为矩轴，列出力矩平衡方程，得到同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出应力张量是对称的二阶张量过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应力张量表示的。等效应力—Von－Mises应力应变正应变：线段每单位长度的伸缩，用表示。伸长为正，缩短为负。剪应变：线段之间直角的改变，用表示。直角变小时为正，反之

7、为负。如果这6个量在P点是已知的，则该点的变形可以完全确定。位移物体内任意一点的位移，用它在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向的为正，沿坐标轴负方向的为负。弹性力学问题的分类杆件长度远大于横向尺寸的构件。几何要素为横截面与轴线。板壳厚度方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件。块体长、宽、高三个方向尺寸为同一量级的构件。§1-2弹性力学的基本方程空间问题的数学描述已知的几何参数和载荷（表面力和体积力），一般都与三个坐标参数x、y、z有关；15个未知函数—6个应力分量：6个应变分量:3个位移分量：u、v、w，一般都是三个坐

8、标参数x、y、z的函数；基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为已知时，维数可相应减少。各类问题的基本方程及基本未知量平面问题的数学描