工程制图_04投影变换的

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1、第4章投影变换的基本概念返回总目录教学提示：当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图上直接获取其真实形状、距离和角度的。由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性。应用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。教学要求：要求学生通过学习本章内容，了解投影变换理论的基本概

2、念，熟悉使用换面法解决空间基本问题的作图过程，了解如何利用计算机绘图软件中的三维功能解决空间问题的基本思路。●4.1投影变换概述●4.2点的换面●4.3用换面法解决的4个基本作图问题●4.4计算机辅助画法集合问题的图解法本章内容4.1投影变换概述从前面所介绍的投影理论可知，当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图上直接获取其真实形状、距离和角度的。例如，要获取一个处于一般位置的直角梯形ABCD的实形［如图4.1(a)所示］，只有当它处于投影面平行面(如水平面)的位置，才能获得，如图4.1(b)所示；同样，要得知一点K

3、到一个三角形平面EFG之间的真实距离［如图4.2(a)所示］，也只有当该平面垂直于某一投影面时(如铅垂面)，才能在这个投影面上直接获得它们的真实距离，如图4.2(b)所示。(a)(b)(a)(b)图4.1寻求梯形的实形　　　　　　图4.2寻求点到平面的真实距离4.1投影变换概述由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)

4、和旋转几何元素法(旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思想。投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影)，以简便地解决空间问题。换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面4.1投影变换概述处于解题所需的有利位置。实际上，以V/H两投影面体系为例，垂直于V面或H面的平面有无穷多

5、个。每新设立一个投影面，就会与原始体系中的那个不变投影面形成一个新的投影体系。因此，在选择辅助投影面时，首先必须将辅助投影面垂直于原投影体系中的另一个投影面(不变投影面)，以构成一个新的两投影面体系，并且应考虑到所选择的辅助投影面必须处于最有利于解题的位置。如图4.3(a)所示的是如何应用换面法将一个铅垂面ABC变换为辅助投影面V1的平行面。此时，由于△ABC∥V1，因此，△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′即反映其实形。其图解过程如图4.3(b)所示。4.1投影变换概述(a)(b)图4.3换面法的基本解题思路4.1投影

6、变换概述旋转法的基本解题思路则是：保持投影体系不动，而将几何元素围绕某一轴线旋转到对投影面处于特殊位置，以便使其反映出形状、距离、角度等的真实大小，使问题得到简化。如图4.4(a)所示的是应用旋转法将一个铅垂面变换为正平面的过程。即令△ABC绕一铅垂轴旋转一个角度，直到平行于V面。使△ABC的正面投影反映出它的真实形状。如图4.4(b)所示是其投影作图过程。将投影变换的基本概念与计算机辅助图形软件相结合，可以更直接、更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和定位问题。(a)(b)图4.4旋转法的基本解题思路4.1投影变换概述

7、点是最基本的几何元素。要运用换面法解决问题，首先必须掌握点的投影变换规律。4.2点的换面为叙述清楚起见，仍以V和H组成的两投影面体系为例，并将其记为。若在的基础上，保持H面(或V面)不动，则H面(或V面)即称为不变投影面，垂直于H面(或V面)增设一个辅助投影面V1(或H1)，即形成了两个相互关联的两投影面体系，分别用符号和(或)表示。其中，X1表示辅助投影面与不变投影面的交线，V1(或H1)表示新设的辅助投影面。点A在V1(或H1)面上的投影a1′(或a1)称为点A的辅助投影，而与其相关联的投影a′和a则称为不变投影。点的一次投

8、影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，即：(1)点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。4.2.1点的一次换面4.2点的换面(2)点的辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴OX的距离。表4-1点的一次投影变换及投影变换