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1、导数及其应用知识点1.平均变化率把/（心）7（和称为函数〉,=/（力从壬到乂"的平均变化率.兀2_西习惯上用心表示x2-x{Ax=X2~Xj,町把Ax看作是和对J：%］的一个增量，N'以用%］+Ax代替x2；类似地,Ay=/（xj-/（%,）.于是，平均变化率可以表示为乞・Ax2•导数的定义一般地，函数y=/（x）在兀=无处的瞬时变化率是恤型二恤/（观+心）7此），心-＞（）心心-＞（）Ax我们称它为函数y=/（%）在兀=兀。处的导数，记作广（X。）或）/=鳥。，即lim/（观+心）一/（兀0）心t°Ar能根据导数的定义，求函数y=c.y=x,
2、y=x^,y=x1,y=^y=^的导数.（课标和1。考纲）3.导数的几何意义函数y=/（兀）在兀=兀0处的导数广（兀。）就是曲线丁=/（兀）在点p（x0,/（x（）））处的切线的斜率£（）,即%=.广（兀0）4.导函数从求函数/（兀）在x=x0处导数的过程可以看到，当x=时，广（兀）是一个确定的数•这样，当兀变化时,广⑴便是兀的一个西数，我们称它为/（x）的导函数（简称导数）.y=/（x）的导函数有时也记作#,即广（W肥/（兀+心）-/（兀）心5.基本初等函数的导数公式⑴若f(x)=c(c为常数)，贝lj/r(x)=0；(2)若/(x)=xn
3、(neQ*),贝！Jf(兀)=nxn~l；(3)若f(x)=sinx,贝if(兀)=cosx；(4)若/(x)=cosx,贝ij/r(x)=一sin兀;(5)若/(x)=o',贝ij广(x)=axIna；⑹若f(x)=ex^f(x)=ex；(7)若/(x)=log“兀,贝lj/'(兀)=盅;(8)若/(%)=Inx,贝护(兀)=y•3.导数运算法则（!）［/（%）±^（x）r=r（x）±^u）；⑵[f(x)•g(x)]f=广(x)g(x)•f(x)gx),特别地,[cf(x)]f=cfx);(g(x)HO).广(Qg(x)—/(x)0(x
4、)[g⑴]2—般地，对于两个函数y=/(“)和况=g(x),如果通过变量/y可以表示成兀的函数，那么称这个函数为函数y=/(%)和u=g(x)的复合函数,记作y=/(g(x))・复合函数y=/(g(兀))的导数和函数y=f(u),U=g(JC)的导数间的关系为即y对X的导数等于y对U的导数与U仅限于形如f(ax^b)的导数.(课标和10考纲)但是高考会超纲，如2010辽宁理10.3.函数的单调性与导数(1)在某个区间(a,b)内,如果f(x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增;如果fx)<0,那么函数y=/(X)在这个区间内单调递
5、间.(2)判断函数单调性的步骤：因为/(X)=,所以广⑴=•当fx)>0,即时，函数/(%)=•••单调递增；当fx)<0,即时，函数/(兀)=・・・单调递减.函数/(兀)=・・・的单调增区间为,单调减区间为.(3)—般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝対值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反Z,函数的图像就“平缓”一些.4.函数的极值与导数⑴如果函数丁=/(兀)在点x=a的函数值/(d)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，那么点a叫做y=/(x)的极小值点，/(67)叫做函数y=/(x)的
6、极小值；如果函数y=/(x)在点X=b的函数值于@)比它在点X=b附近其他点的函数值都人，那么点b叫做y=/(X)的极大值点，f(b)叫做函数y=/(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.(2)求函数>•=/(兀)的极值的方法(充分条件):解方程f(x)=0.当f(兀o)=0时：①如果在如附近的左侧fx)>0,右侧f(x)<0,那么/(兀0)是极大值;②如果在如附近的左侧fMo,那么/(兀0)是极小值・必要条件:函数y=f(x)在一点取得极值的必要条件是函数〉=沟在这一点的导数值为0.(3
7、)函数的最大(小)值与导数-般地，如杲在区间［a,切上函数y=/(x)的图像是一-条连续不断的1111线，那么它必冇最人值和最小值.求函数y=/(兀)在［Q,b
8、上的最大值与最小值的步骤：①求函数歹=/(兀)在(a,b)内的极值；②将函数y=/(x)的各极值与断点处的函数值/(a),f(b)比较，其屮最人的一个是最人值，最小的一个是最小值.例4求函数4x4-4的极优解：因为/•（刃=寺一一4工+4・所以/（x）=x2-4=（x-2）（x4-2）.令/（x）=0,解得x=2,或工=一2・下面分两种情况讨论：（1）当/（x）＞0,即x＞2,或Y-2
9、时；（2）当/（x）＜0.即一2VhV2时.半才变化时.心、/（刃的变化情况如下表：X（一8.—2）2（一2.2）2（2t十8）/+0一0+/（
