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1、指数与对数先复习国中学过的指数概念和指数律，包括1.,是正整数，的意义。2..3.,.4.赋予,以符合3.5.赋予,为正整数，以符合3.6.更广的指数律：..7.是正整数，的意义。例如:时，.时，.一般正整数，.8.是正整数，的意义。例如:..11师(T):今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯(1766~1834)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。比方说，一年以后人口变成2倍，二年以后人口变成4倍，三年以后人口变成8倍。生(S):这不太可能吧！像台湾，就以2
2、300万人口来说好了。一年后变成2倍就是4600万，二年后变成4倍就是9200万，三年后变成8倍就是18400万。3年后有几乎2亿的人口，可能吗？T:这里说的变成2倍、4倍、8倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形式，倒没有说一定是一年变成2倍，这里要说的是在某一个时段(例如:10年)变成2倍，再过一个时段(10年)又从2倍变成4倍。也就是说三个时段(30年)之后，就会变成8倍。当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的论点是不对的。不过我们不妨假想有某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，这种细菌繁殖力超强
3、，每一小时的“细菌口”会变成2倍。因此3小时后，就会变成8倍。S:那，半小时以后，会变成几倍呢?T:这个问题很好，如果我先告诉你的是:细菌数在3小时以后会变成8倍，那么你觉得1小时以后会变成几倍呢?S:当然是2倍！T:对，如果用指数来表示，是不是说,或是说，人家问你:,是多少?你的回答是.是不是这样？S:了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成,那么因为已知1小时之后，细菌数会变成2倍，而1小时代表两个半小时的时段，所以.这样想，对吗？那应该是,也就是说，半小时以后，细菌数会变成倍。T:没错，我们可以
4、将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，细菌数就会变成倍。如此说来，3小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成几倍呢？S:让我想想，三小时相当于6个半小时，因此细菌数应该变成6个相乘，，三小时以后仍然变成8倍。T:我们应该记成。S:所以无论是想成1小时后变成2倍，或是半小时后变成倍，3小时后都是变成8倍。前者是计算三个时段，每一个时段2倍，;后者是计算611个时段，每一个时段倍，。T:那我再问你:如果一小时变成2倍，那么20分钟，也就是小时，应该变
5、成几倍呢？S:1小时是3个20分钟，如果经过20分钟，细菌数变成倍，就代表1小时后变成倍。解,。T:刚才提到，近似值是1.414。请问，的近似值是多少？S:当然比小，我觉得至少大于1.2,因为,不足2,而,超过2。所以应该介于1.2和1.3之间，亦即.T:如果把15分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？S:1小时是4个15分钟，如果每15分钟，细菌数变成倍，4个15分钟后，细菌数应该变成倍，方程式是,亦即.T:你能估计吗？S:,,是的平方根，所以我相当确定,因为,而.前者小于,后者大于.T:你看
6、，,,，从这里也可以看出.时段越短，倍数越小，但是都大于1.S:老师，如果继续下去，比方说，如果分别把10分钟、5分钟、2分钟、1分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？11T:我们可以列一个表时段长小时数(h)细菌数增长倍数60分钟1120分钟2180分钟330分钟1/220分钟1/315分钟1/410分钟1/65分钟1/122分钟1/301分钟1/60-60分钟-1-30分钟-1/2-1分钟-1/600分钟07分钟7/60比方说，以1分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为倍，则因
7、一小时是60分钟，所以，亦即。在上面的表中，你可以发现最右边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你如果用5分钟作基准，并且假设每经过5分钟，细菌数变成倍，则10分钟之后会变成倍，而1分钟之后会变成倍。上面这个表是以60分钟或1小时为基准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是小时的话，最右边这一行的增长倍数就是，读作2的次方，可以是2,3也可以是1/2,1/3。甚至可以是负数或0.如果是0,就代表开始的那一刻，细菌数是1倍，亦即.11S:基准是可以换的。如果用1分钟为基准来观察，
8、1分钟增长倍，所以5分钟就会增长倍，完全符合上表。T:是的，如果你愿意以1分钟为基准，你就可以求出经过7分钟以后细菌增长的倍数，应该是多少呢？S:应该就是7分钟以后增长的倍数。这个数字看起来蛮难看的，而且说实话，我感觉不出来它的大小，只能说一定大于1，不过7分钟以小时为单位就是7/60小时，在表上代表，增长的倍数是。T:不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。它的特性是只要经过1小时，就会增长2倍。不管是10点到11点还是第二天的下午3点到4点，也就是说无论是
