指数与对数的运算

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1、—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!指数与对数的运算【课标要求】（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理

2、，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数幂的概念。（1）概念：n个a(2)运算性质：两点解释：①可看作∴==②可看作∴==2、根式：（1）定义：若则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数记作：当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：负数没有偶次方根0的任何次方根为0名称：叫做根式n叫做根指数a叫做被开方数（3）公式：；当n为奇数时；当n为偶数时3、分数指数

3、幂（1）有关规定：事实上，若设a>0,，由n次根式定义,次方根，即：网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!（2）同样规定：；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。（注）上述性质对r、R均适用。4、对数的概念（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。①以10为底的对数称常用对数，记作；②以无理数为底的对数称自然对数

4、，，记作；（2）基本性质：①真数N为正数（负数和零无对数）；2）；③；4）对数恒等式：。（3）运算性质：如果则①；②；③R）。（4）换底公式：两个非常有用的结论①；②。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)af(x)=bÛf(x)=logab,logaf(x)=bÛf(x)=ab;（定义法）(2)af(x)=ag(x)Ûf(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（转化法）(3)af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4)logaf(x)=logb

5、g(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【典例解析】题型1：指数运算网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!例1．（1）计算：；（2）化简（3）化简：。（4）化简：例2．已知，求的值。题型2：对数运算例3．计算（1）；（2）；（3）。网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!例4．设、、为正数，且满足（1）求证：

6、；（2）若，，求、、的值。例5。（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）设求证：题型4：指数、对数方程例6：解方程（1）（2）网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!例7．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.【巩固练习】1..若，则的值为A．50B．58C．89D．111（）2.若，则=；3.已知的值域为[1，

7、7]，则的取值范围是（　　）A.［２，４］　　B.C.　D.4若则5.已知(a>0)，则.6.（1）；（2）.7.若，求的值．8.解下列指数方程：(1)(2)网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!(3)(4)9.解下列对数方程(1)(2)(3)(4)10.如果函数在区间[-1，1]上的最大值是14，求的值。11.设若时有意义，求实数的范围。【思维总结】1．（其中网址：http://www.zs960.com至善教育版权所有严禁未经

8、授权的任何商业用途11—合肥分部至善教育祝您的孩子成人!成才!成功!）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初