2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课件新人教A版必修

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1、1.3.2奇偶性一二一、偶函数1.观察下列函数的图象,你能通过这些函数的图象,归纳出这三个函数的共同特征吗?提示:这三个函数的定义域关于原点对称,图象关于y轴对称.一二2.对于上述三个函数,f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系?提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).关于y轴对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?提示:若函数y=f(

2、x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.4.填空:(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.(2)偶函数的图象特征:图象关于y轴对称.一二5.判断正误:定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),f(-2)=f(2),则f(x)一定是偶函数.()答案:×6.做一做:下列函数中,是偶函数的是()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x+x3答案:A一二二、奇函数1.观察函数f

3、(x)=x和f(x)=的图象(如图),你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?提示:容易得到定义域关于原点对称,图象关于原点对称.2.对于上述两个函数f(1)与f(-1),f(2)与f(-2),f(3)与f(-3)有什么关系?提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).一二3.一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系?反之成立吗?提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称

4、.4.填空:(1)定义:对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.(2)奇函数的图象特征:图象关于原点对称.一二5.判断正误:(1)若f(x)是奇函数,则f(0)=0.()(2)不存在既是奇函数又是偶函数的函数.()答案:(1)×(2)×一二6.做一做:(1)函数f(x)=-x的图象关于()对称.A.y轴B.直线y=-xC.坐标原点D.直线y=x(2)下列图象表示的函数具有奇偶性的是()一二解析:(1)因为f(x)=-x是奇函数,所以该函数的图象关于坐标原点对称.(2)选项A中的函数图象

5、关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.答案:(1)C(2)B探究一探究二探究三思想方法探究一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:分析:利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.

6、当f(x)不等于0时也可考虑与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.当堂检测探究一探究二探究三思想方法解:(1)∵函数的定义域为{x

7、x≠-1},不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.∴函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.当堂检测探究一探究二探究三思想方法(4)函数的定义域关于原点对称.(方法一)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x[1-(

8、-x)]=-x(1+x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.当堂检测探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.2.判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法:当堂检测探究一探究二探究三思想方法(2)图象法:当堂检测探究一探究二探究三思想方法变式训练1判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=

9、x+2

10、+

11、x-2

12、;(3

13、)f(x)=0.解:(1)f(x)的定义域是R,所以f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=

14、-x+2

15、+

16、-x-2

17、=

18、x-2

19、+

20、x+2

21、=f(x),所以f(x)是偶函数.(3)因为