22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质1

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1、22.1.3二次函数y=ax²+k的图象温故知新y=ax2(a≠0)a>0a<0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyOyxO向上向下(0,0)(0,0)y轴y轴当x<0时,y随着x的增大而减小。当x>0时,y随着x的增大而增大。当x<0时,y随着x的增大而增大。当x>0时,y随着x的增大而减小。x=0时,y最小=0x=0时,y最大=0抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由

2、a

3、来确定的,一般说来,

4、a

5、越大,抛物线的开口就越小.二次函数的图像例1.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图像解:列表x…-3-2-10123

6、…y=2x2+1y=2x2-1…199313919……1771-11717…描点连线二次函数的图像(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系?思考(1)抛物线y=2x2+1:开口向上,顶点为(0,1).对称轴是y轴,抛物线y=2x2-1:开口向上,顶点为(0,-1).对称轴是y轴,(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2的异同点:12345x12345678910yo-1-2-3-4-5y=2x2+1抛物线y=2x2抛物线y=

7、2x2-1向上平移1个单位抛物线y=2x2向下平移1个单位y=2x2-1y=2x2抛物线y=2x2+1相同点:①形状大小相同②开口方向相同③对称轴相同不同点:顶点的位置不同,抛物线的位置也不同.●●●把抛物线y=2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线?向下平移3.4个单位呢?-222464-48-2-4(1)得到抛物线y=2x2+5(2)得到抛物线y=2x2-3.4总结抛物线y=ax2与y=ax2±k之间的关系是:(k>0)形状大小相同,开口方向相同,对称轴相同,而顶点位置和抛物线的位置不同.抛物线之间的平移规律:抛物线y=ax2抛物线y=ax2

8、-k向上平移k个单位抛物线y=ax2向下平移k个单位抛物线y=ax2+k函数y=ax2(a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0)的图象形状,只是位置不同;当k>0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到,当k<0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。上加下减相同上k下

9、k

10、12345x12345678910yo-1-2-3-4-5当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于;当a<0时,抛

11、物线y=ax2+k的开口,对称轴是,顶点坐标是,在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x的增大而,当x=时,取得最值,这个值等于。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2y=x2-2y=x2+1y=x2向上y轴(0,k)减小增大0小k向下y轴(0,k)增大减小0大k观察思例:在同一个直角坐标系中,画出函数y=-x2和y=-x2+1的图像,并根据图像回答下了问题:(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2(2)函数y=-x2+1,当x时,y随x的增大而减小;当x时,函数y有最大值,最大值y是其图像与y轴的交点坐标是,

12、与x轴的交点坐标是(3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标一般地抛物线y=ax2+k有如下性质:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点坐标是(0,k),是由抛物线y=ax2的图像向上(k>0)或向下(k<0)平移个单位得到的。k当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口向上,在对称轴的左边,即x<0时,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边,即x>0时,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值,即当x=0时,y最小值=k当a<0时,抛物

13、线y=ax2+k的开口向下,在对称轴的左边,即x<0时,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边,即x>0时,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线的最高点,此时,函数y取得最大值,即当x=0时,y最大值=k二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到;y=4x2-11的图象可由y=4x2的图象向平移个单位得到。(2)将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向平移个单位

14、得到可由y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象。上5下11下4上7上9小试牛刀(3)抛

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