高中生对正弦函数概念理解

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1、高中生对正弦函数概念的理解江苏省常熟中学（215500）胡慧敏摘要：正弦函数是高中数学学习的重要内容之一。采用问卷调查的方法，研究了学生对正弦函数定义，及三种表示方法（解析法、列表法、图像法等）的理解。研究表明，三角函数的学习并不总能促进学生对函数概念的理解，学生并不根据正弦函数的定义来思考问题。他们关于任意角、函数、正弦函数的表象是模糊的，不准确的，采用直觉推理产生了许多错误。，关键词：函数概念，正弦函数概念；概念的定义和表象；1.问题提出在学习了函数的概念、性质之后，三角函数是中学生接触到的具

2、有许多特殊性质的重要函数。从逻辑上讲，三角函数首先是函数，因此它必须满足函数的一切属性，但是它又具有许多特殊性，它是中学唯一得到系统研究的周期函数。比如，从映射的角度看，它是实数集到实数集的一个不是单射的满射；比如，可以研究三角函数的周期性、单调性和奇偶性。所以，函数的知识是学习三角函数的基础，同时学习三角函数也可以加深学生对函数概念的理解。然而，三角函数的独特性质，以及教材呈现内容的方式给学生的学习造成了一定的困难[１]。比如说，初中阶段教材是利用几何图形（几何定义）——直角三角形来定义锐角三角

3、函数的，而到了高中，课本在直角坐标系中定义任意角的三角函数（坐标定义），或是利用单位圆给出任意角三角函数定义（单位圆定义）。那么，教材的这种似乎“缺少衔接”11的处理方式，是否阻碍了学生对三角函数概念的理解？学习了坐标定义的高中学生，他们所理解的三角函数还会停留在初中的水平吗？他们能从函数角度理解三角函数的多种表示形式以及之间吗？本文以最基本同时也是学生接触得最多的正弦函数作为研究对象，主要研究：（1）学生对正弦函数定义的理解，正弦函数在他们思维中的表象是什么？（2）学生对正弦函数三种表示方法（解

4、析法、列表法、图像法等）的理解。（3）三角函数的学习是否能促进学生对函数知识的理解和掌握？2.理论框架对于某个数学概念而言，理解概念要涉及到两个侧面，即概念的定义和表象。定义与表象是正如一个硬币的两个面，它们各有侧重，又互相补充，相辅相成，在帮助学生形成和运用概念方面共同发挥作用[2]。定义是以语言为途径，对概念作逐字逐句的界定，规定内涵，具有抽象性和严密性，但这对于信息的回忆和实时加工来说，冗长且罗嗦，限制较大。但是Vinner指出：用心学习定义不保证理解[3]。而表象是在知觉基础上，利用直观形

5、象为工具，象征性地代表概念，在回忆、加工时显得简洁明快，约束较小。其特点是相对具体，让人感到轻松，但常有不全面、不精确、不深刻的弱点。李士锜先生指出：“……，概念表象，是人们头脑中与概念名称有关的非语言的东西，它可以是视觉表象，思维图形，或是一个印象或经验，例如一个模型，一条曲线，一个符号，一组变化的动作[2]。”二者互相影响互相促进。（见图1）图111在一般的概念学习和运用中有纯形式的演绎、纯直觉的推理以及既借助于表象这个直观的思维媒介，减轻思维负担，又参考概念定义，避免或纠正可能发生的错误。而

6、在三角函数认知结构中，概念表象对认知活动起着重要作用。研究三角函数的概念定义和概念表象，有助于了解函数的形式定义和思维活动之间的差别，分析学生认识掌握三角函数的角度，从而寻找引起学生函数概念认知困难的原因。3.研究方法本研究主要采用了问卷调查法。问卷（详见附录）围绕学生对正弦函数的概念的理解，共5道题。（见表1）表1正弦函数定义正弦函数三种表示方法题1列表法图像法解析法题2（1）题2（2）题3（1）题2（3），题3（2）具体问题如下：1、请给出任意角的正弦的定义。（你能想到几种定义就写几种，请按照

7、你熟悉的顺序写）2、请判断下列哪些表示是的函数？哪些表示是的正弦函数？请说明理由。010-10（1）判断：（是，不是）函数，（是，不是）正弦函数理由。11（2）判断：（是，不是）函数，（是，不是）正弦函数理由。（3）判断：（是，不是）函数，（是，不是）正弦函数理由。1、判断下列叙述是否正确，正确的请简要证明，错误的请举反例说明或改正。（1）单位圆中，正弦线也是正弦函数的图像。判断理由。（2）正弦函数的解析式是。判断理由。4.研究对象本次调查样本是江苏省常熟市某三星级高中三年级学生，成绩在全市属中等

8、水平。本次调查发出问卷74份，收回问卷74份。5.结果与分析5.1学生对正弦函数定义的回答表2回答初中几何定义高中坐标定义高中单位圆定义其他11人数以及百分比64人,约占总数的87%。给出完整正确结果的有38人，占总人数的52%49人，约占总数的66%。但正确作图并规范书写的只有16人占总人数的21%只有3人,约总数的4%。只有一人能正确写出定义26人,约占总数的35%具体表现在问卷上画出直角三角形，或用符号“Rt⊿”给予说明，同时标明了锐角及其对边、斜边。几乎所有的学生所画的任意