从apos理论看高中生对函数概念的理解

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1、第16卷第2期数学教育学报Vol.16,No.22007年5月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONMay,2007从APOS理论看高中生对函数概念的理解12濮安山，史宁中（1．哈尔滨师范大学，黑龙江哈尔滨150080；2．东北师范大学，吉林长春130024）摘要：APOS理论由美国数学教育家杜宾斯基提出．APOS理论强调学生对数学概念的建构要经历操作阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段．我国高中生在函数概念的建构过程中，大部分学生达到操作阶段和过程阶段，很少的学生达到对象阶段，一部分学生达到图式阶段．在对象阶

2、段，随着年级的增长，学生的认识程度在提高；在函数概念的建构各阶段，重点学校的学生认识程度整体上好于普通学校．关键词：高中生；函数概念；理解；APOS理论中图分类号：G632.0文献标识码：A文章编号：1004–9894（2007）02–0048–0320世纪以来，心理学家非常重视对数学学习的研究，尤概念到一个“对象的”概念的过程既慢又有很大困难．两种其是对数学思维和数学能力的研究，获得了大量重要的研究概念当充分建成后都在数学活动中起着重要的作用．这是数成果．如皮亚杰的儿童智力发展理论；荷兰范·希尔（Van学思维现代研究的一个重要

3、成果，由“过程”向“对象”的Hiele）夫妇的几何学习思维水平的理论体系；以色列著名数转化构成了数学思维特别是代数（包括算术）思维的一个基学教育家斯法德（A.Sfard）的代数思维的基本形式（对象—本形式．有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但过程理论）；美国数学教育家杜宾斯基关于数学概念学习的最终则又转化成了一个对象——对此我们不仅可以研究它APOS理论等．其中的某些研究有一定的局限：一是研究对们的性质，也可以此为直接对象施行某些新的运作（对于所象局限于年幼儿童（十二三岁以前）；二是研究的数学内容多说的“运作”应作广义理

4、解，即未必是指具体的运算，而也局限于初等数学（如数的计算、数的概念、比例、初等几何可以包括任何一种数学运演，甚至不一定要有明确的算等），较少涉及高等数学思维的研究（如极限、函数、导数等）．法）．例如，中学的函数概念就是如此．函数可以被看作一从数学教育的研究内容来看，关于代数内容逐渐从以解个过程，联系定义域中的对象和值域中的对象，通常这些对[1]方程为中心转到以研究函数为中心．函数概念已经成为中象都是数．任何一个具体的函数均可被认为是在这些数上施学数学中最为重要的概念之一．函数概念本身不好理解，又行运算的过程：将它们变换成另外的数

5、．数之间存在着关是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概系．例如，序关系．当学生的数学知识不断增多时，就会感念，学生对其理解的困难是不言而喻的．国外关于函数教学到仅把函数看成在数上施行运算的过程是不够的，可能遇到的研究也表明了这一点：函数概念有许多复杂的层次和许多对函数进行运算．比如微分等．于是有必要把函数看成一个相关的下层概念．这样，函数确实成了中学数学中最难教、被运算的对象．[2]最难学的概念之一．学生的函数概念是方法性的还是结构美国数学教育家杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要性的，斯法德对此作了深入的研究．她调查

6、了60名16岁和进行心理建构的，这一建构过程要经历以下4个阶段（以函18岁的学生．结论是大多数学生认为函数的概念是个过程数概念为例）：而不是静止的结构．那么我国高中生函数概念的理解会怎样第一阶段——操作（Action）阶段．理解函数需要进行呢？本研究以美国数学教育家杜宾斯基关于数学概念学习活动或操作．例如，在有现实背景的问题中建立函数关系：2的APOS理论为基础，考察高中生（15~17岁）对函数概念y=x，需要用具体的数字构造对应：2→4；3→9；4→16；的理解程度．5→25⋯⋯通过操作，理解函数的意义．1研究的理论基础第二阶

7、段——过程（Process）阶段．把上述操作活动综2合成函数过程．一般地，有x→x；其它各种函数也可以概数学教育学家和心理学家对数学概念教学进行了大量括为一般的对应过程：x→f(x)．的实验，总结出一些有影响的数学概念学习理论．其中较为第三阶段——对象（Object）阶段．然后可以把函数过重要的有以色列著名数学教育家斯法德的代数思维的基本程上升为一个独立的对象来处理．比如，函数的加减乘除、形式（对象—过程理论）和美国数学教育家杜宾斯基关于数复合运算等．在表示式f(x)±g(x)中，函数f(x)和g(x)均作为学概念学习的APOS

8、理论．它们是当前中小学数学概念教学整体对象出现．的基本理论支撑．第四阶段——图式（Scheme）阶段．此时的函数概念，斯法德认为可以用两种不同的方式形成抽象的数学概以一种综合的心理图式存在于脑海中，在数学知识体系中占念：构造性的（作为对象）或运算性的（作为过程）