函数概念理解

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1、一个中学生对函数概念的理解——案例研究MiroslawaSajka.(2003).ASecondarySchoolStudent'sUnderstandingoftheConceptofFunction——ACaseStudyEducationalStudiesinMathematicsP（229-254）一个中学生对函数概念的理解——案例研究论文框架1研究背景2理论框架——过程概念理论3研究方法4学生行为描述5结论研究背景函数是数学中基础概念，在教学中给予了很多的时间和重视，但对学生来说在理解上仍面临很多困

2、难。一是Sierpinska(1992)提出认识论上的障碍：数学的哲学性和思维的抽象性，还有概念关联很多相关术语。二是函数概念的双重性：既可看做是一个对象——一系列有序实数对，也可以看做是是一个计算过程(Sfard,1991).貌似无关，实则要将两者统一为一个整体。GrayandTall(1994)也指出函数记号同时具备两种作用：一是对指定自变量可以求得函数值；二是对任意自变量都可以概述其函数概念。一个中学生对函数概念的理解——案例研究Sierpinska(1992)强调在理解上要灵活，f(x)可以代表一

3、个函数或是函数f的值。这可能使普通学生觉得混乱。Even(1990)调查发现教师在函数概念教学上成功与否的条件之一是教师对这一学科知识理解的全面性。Sfard(1991)从历史和心理的观点指出函数概念的形成过程。她认为函数概念先是在操作上获得的，然后才转化成为数学的名词。Vinner(1983,1991)基于定义和概念图之间的关联提出一个认知过程模型。这个模型的基础是对比10、11年级学生以及大学生和中学教师对概念和概念图的不同认识。并给出了一些教学建议。研究问题普通学生对函数概念的理解以及理解的程度（普

4、通学生的函数过程概念以及与教师期望之间的差别）过程概念理论ProceptTheory（过程概念理论）是DavidTall和他的同事EddieGray（英国WarwickUniversity数学教育研究中心主任）于1994年所发展出来的一个数学学习理论。理论假定数学有过程和概念的二元性，但显而易见这种二元性又可以由同一个符号既表示过程又表示结果（如1:2）他们创造了一个新的术语：procept一个中学生对函数概念的理解——案例研究一个中学生对函数概念的理解——案例研究补充认识理论上，典型或传统的符号数学概念的

5、发展，是从步骤（procedure）进步到过程（process）进而发展出过程概念（procept）。学生反覆练习一个步骤（例如：一个公式或规则），可以帮助其正确的处理一些典型的题目（problems）；熟练了针对某一题型的一个或多个相关步骤（进入process阶段），可以帮助学生更灵活且有效率地解题；当学生对某一数学符号发展出过程概念（procept）时，表示该学生能很自由地对此一数学符号背后所隐含的运算过程（process）和数学概念（concept）间做转换。然而，实际上学生符号数学概念的发展并非是单纯线

6、性成长的关系（procedural-conceptual-proceptual），而是在过程（procedural）及概念（conceptual）阶段之间会做来来回回的修正，最后才形成稳定的过程概念（procept）3、研究方法访谈——持续46分钟，录音记录并写成文字稿做分析，其中K表示被访者Kasia，EXP表示实验者，后面的数字表示说的第几句话。如K24。被访者Kasia——克拉科夫一所综合高中的16岁学生，数学能力一般，但她还学习希腊语和拉丁语，她被老师形容为“典型的人文主义者”（数学不好），作者认识

7、她已有三年，对她学习数学的情况十分清楚，而且与她关系融洽。她的性格开朗、健谈、愿意说出自己的想法也会表达自己的思考过程。接受访谈时Kasia已经学过三年的函数，她清楚正式的函数概念，对不同的表述和例子也十分熟悉。数学课上她反复在用这些概念，因此也持续在变化。任务给出一个例子：使函数f满足对定义域内任意的实数x、y，下列等式成立：f(x+y)=f(x)+f(y)4、学生行为描述4.1概述4.2详述4.2.1任务中的“例子”一词所引发的一系列联想K3:x、y可以取任何数吗？或者任意的式子？是数还是式呢？EXP

8、3：读一下题。K4:……我想是一个式子……EXP4：什么式子？K5:函数式。。对，对，是式子，不是一个特殊的数EXP5：你怎么想的？K6：我不知道，两种都有可能，我一开始想的是一个特殊的数，x、y可以用两个数字代入，例如3和5,……Kasia想具体的处理这个问题，所以一开始就关注到数，可能是受“给出一个例子”这些字眼的影响，而函数式不够“具体”，所以用数代替函数自变量。EXP7