山大高代2-矩阵

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1、矩阵一.矩阵的秩及其求法1.利用定义求矩阵的秩利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是否为零来确定矩阵的秩.有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4.2.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将A化为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定A的秩.这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对.二.逆阵及其求法1.利用伴随矩阵A*求逆阵注：对2阶数字方阵求逆，一般都用A*来做，既简便又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用A*求其逆阵，因为若用A*去做，计算工作量太大且容易出错，而是利用下面所介绍的初等变换法.2.利用初等变换求逆阵方法与原理如下

2、：注意：对于2阶数字方阵，一般不用初等变换法求其逆阵.3.利用定义求逆阵利用定义求n阶方阵A的逆阵，即找或猜或凑一个n阶方阵B，使AB=E或BA=E，从而A－1＝B.4.利用分块矩阵求逆阵关于分块矩阵的几个基本公式注：因为使用了分块矩阵的求逆公式，由求4阶方阵的逆阵转化为求两个2阶方阵的逆阵了，计算量大大减少.从而5.利用定义证明某一矩阵B为矩阵A的逆阵注：1.矩阵的逆阵是线性代数中非常重要的一个内容，主要包括：①证明矩阵A可逆；②求逆阵；③证明矩阵B是矩阵A的逆阵.2.证明矩阵A可逆，可利用A的行列式不为零或证明A满秩或找一个矩阵B，使AB=E或BA=E等方法；对数字矩阵，若求其

3、逆阵，一般用A*（如2阶矩阵）或初等变换（3阶及3阶以上的方阵）的方法来做，有时也利用分块矩阵来做；对抽象的矩阵A，若求其逆，一般是用定义或A*来做；证明矩阵B是矩阵A的逆阵，只需验证AB=E或BA=E即可.三.矩阵方程及其求解方法标准的矩阵方程有三种形式：其中A,C均为可逆阵.注：因为A，C为初等阵，故可利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系很容易地写出ABC的结果，而无需做矩阵乘法.（有时）在求解矩阵方程时，应先将方程化简.见下面的例子.注：此题若不是先化简给出的矩阵方程，而是直接求C-1以及C-1B及E－C-1B，再求(E－C-1B)T及(E－C-1B)TCT就麻烦多了.因此，在

4、求解矩阵方程时，一定要注意先化简方程.四.关于矩阵运算矩阵运算有其特殊性，若能灵活地运用矩阵的运算性质及运算规律，可极大地提高运算效率.注：对一般的n阶方阵A，我们常常用归纳的方法求An.