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1、习题课(第5章矩阵的对角化)[基本要求]1.了解内积的概念,会用施密特方法将线性无关的向量组标准正交化.2.了解标准正交基、正交矩阵的概念及其性质.3.掌握矩阵特征值和特征向量的概念及其求法.4.了解相似矩阵的概念和性质5.知道矩阵能对角化的充要条件.6.掌握实对称矩阵对角化的方法.-----------------------------------[内容提要]一.主要概念:标准正交基、正交矩阵、特征值和特征向量、相似矩阵二.主要方法:1.无关组的正交化方法:,2.特征值和特征向量的求法:①求特征方程
2、λE-A
3、=0的所有根λ1
4、,…,λn，即得A的所有特征值；②解方程组(λiE-A)x=θ,得基础解系ξ1,…,ξn-r，则属于λi的全部特征向量为:pi=k1ξ1+…+kn-rξn-r，k1,…,kn-r为不全为零的数3.实对称矩阵的对角化方法:求出矩阵A的所有特征值λ1,…,λn及对应的n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=(p1,…,pn),Λ=diag(λ1,…,λn),则P-1AP=Λ.三.主要结论:1.特征方程的根与系数的关系：(1)λ1+…+λn=a11+…+ann；(2)λ1…λn＝
5、A
6、．2.若A与B相似,则A与B有相同的特征值,即
7、
8、λE-A
9、=
10、λE-B
11、3.矩阵A的不同的特征值对应的特征向量线性无关.4.实对称矩阵A的不同的特征值对应的特征向量必正交.5.设λ是矩阵A的特征值,g(x)=anxn+…+a1x+a0是一个多项式，则g(λ)是矩阵g(A)的特征值．特别:当A可逆时,1/λ是A-1的特征值;
12、A
13、/λ是A*的特征值.-------------------------------------------------[例题分析]1.设２是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(3A2)－1必有一个特征值是．(1/12)2.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个
14、特征值为 ．[复习题五-1](n,0,…,0)3.设三阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为,则行列式
15、B-1-E
16、=.[00数一]4.已知三阶矩阵A-E，A-2E,E+2A都不可逆，则行列式
17、2A*
18、=.[仿复习题五-2](8)4-1.设A为二阶矩阵，α1,α2为线性无关的二维向量，Aα1=θ,Aα2=2α1+α2,则A的非零特征值为.[复习题五-4，08数1-3]5.设A为n阶方阵,若AX=θ有非零解,则()(A)A的特征值全为0;(B)A至少有一个特征值为0;(C)A=O；(D)以上结论均不正确.6.ｎ阶矩阵A与对角矩阵Λ相似的
19、充要条件是().[复习题五-6](A)A有ｎ个不同的特征值；(B)A为实对称矩阵；(C)A有n个线性无关的特征向量；(D)A与对角矩阵Λ等价．(或
20、A
21、=
22、Λ
23、)7.已知三阶矩阵A的特征值为0,1,-1,则下列结论中不正确的是().(A)矩阵A是不可逆的;(B)矩阵A的主对角线元素之和为零;(C)1和-1所对应的特征向量是正交的;(D)齐次方程组AX=θ的基础解系由1个向量组成.--------------------------------------------8.设A,B都是n阶矩阵，且
24、A
25、≠0，证明AB与BA相似.[习题
26、5.3-4]--------------------------------------------9.设A=，若A有一个特征值为0，求a及A的另一个特征值.----------------------------------------10.设A是n阶正交矩阵，且
27、A
28、<0,证明：-1是A的一个特征值.[习题5.1-4]------------------------------------------11.将对称矩阵相似对角化.[习题5.4-1(1)]--------------------------------------
29、-------------12.设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1，对应的特征向量依次为p1=(0,1,1)T,p2=(1,1,1)T,p3=(1,1,0)T,求矩阵A.[习题5.4-3]12′.设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.(1)求A的属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A及A5.[类型同例5.4.2]12².设三阶实对称矩阵A的特征值是6,3,3,属于特征值6的特征向量是α1=(1,1,1)T.(1)求A的属于特征值3的特
30、征向量;(2)求矩阵A及A5.[习题5.4-4]-----------------------------------------------13.设λ是可逆矩阵A的特征值，证明：是A*的特征值.[习题5.2-4]-----------------
