中山大学等校硕士入学考试试题-高代部分

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1、中山大学高代部分０３年５.（２０）设A为n阶实阵矩（），证明：（１）若A的每个元素都等于它的代数余子式，且至少有一个元素不为零，则＝I；（２）若则存在正交阵P与正定阵B，使A=PB０４年部分１（１０）计算：２（１０）设是数域P上的线性空间V中一线性无关向量组，讨论向量组的线性相关性。３（１０）设，（１）证明：；（２）求。４（２０）设的线性变换A在标准正交基下的矩阵为：，（１）求A的特征值和特征向量；（２）求的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角阵。５（２０）设为n维欧氏空间V的一个单位向量，定义A的线性变换

2、A如下：　A＝证明：（１）A是第二类正交变换（称为镜面反射）；（２）V的正交变换B是镜面反射1是B的特征根，且对应的特征子空间的维数为n-1０５年部分１．（１５）由三个函数１，生成的实线性空间记为V，求线性变换T:：的迹、行列式和特征多项式。２．（１５）设A是秩为n的的实矩阵，b是m维向量。若n维向量x满足：，证明：对一切不等于x的n维向量y，有：３．（１５）设，（1）A是否相似于对角阵；（2）求B的行列式。4．（15）证明：实线性空间的线性变换必有１维或２维的不变子空间。５（１０）证明正定矩阵的最大元素位于主对

3、角线上。　厦门大学０４年高代部分一填空题（）１．设n阶行列式的值为a，将每个元素换成，得到的新的行列式的值为　　；２．设是线性方程组AX=b的解，则当且仅当满足　　　　条件时，也是AX=b的解。３．，的Jordan标准形是　　　　；４．设A是实数域F上的３阶矩阵，A的伴随阵记为，若A的特征值为１，２，３，则的特征值是；5.设A是n阶实可逆阵，则的正惯性指数是，符号差是；6.设，其中P为三阶可逆阵，则。二（20）设A是n阶方阵，则秩（A），当且仅当存在n阶非零方阵B，使得AB=BA=0.三（20）设V是n维线性空间

4、，A是V的线性变换，设U是V的子空间，求证：，（这里AV是值域，）是核）四（18）设A是实数域上５阶非零方阵，是的代数余子式，若，求证A可逆并求。五、（10）设是n维欧氏空间V的子空间，且，设是V中由向量生成的子空间，且满足：，求的维数并证明。附北工大.10（10，）设，，证明：线性方程组AX=b有解的充要条件是b与齐次线性方程组的解空间正交。南京大学03年高代部分一判断题（×10）1.设f是数域P上的多项式，若f(x)在P中没有根，则f(x)在P上不可约。（）2.f,g,d都是数域P上的多项式，如果存在多项式u

5、,v，使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)，则d是f,g的最大公因式。（）3.设f是数域P上的多项式，是f(x)的导数，整数，如果不可约多项式p(x)是的k重因式，则p(x)是f(x)的k＋１重因式。（　　　）1.设A,B是两个同阶方阵，则。（　　）2.设整数，A为数域P上n阶方阵，。　（　　）3.两个同阶方阵相似当且仅当它们有相同的特征多项式。　（　　　）4.有限维欧氏空间中任一组基的度量阵必定是正定阵。（　　　）5.线性空间V的两个真子空间之和仍为V的真子空间（　　）6.n阶阵可逆的充要条件是行列式

6、。（　　）7.欧氏空间的两个对称变换的乘积仍为对称变换。（　　）二、（３０）设A是数域P上的四维线性空间V的线性变换（或自同态），是V的一组基，并且：　　　　　　　　　　　　　　　　　１．写出A在这组基下的矩阵A；２．求出A的全部特征值和特征向量；３．试问A是否在某组基下为对角形矩阵B？如果是,求对角阵B及正交阵T,使三、（１０）设整数，A为n阶方阵，，但，求A的特征矩阵的标准形，即求的所有不变因子。四、（１０）设，，若全为非零实数，且A正定，求证B也正定。五、（２０）设A是n阶方阵，证明：南京大学０４年高代部分

7、一、判断题（）１．设f,g,d都是数域P上的多项式，则d(x)是f,g的最大公因式的充要条件是：存在多项式u,v，使d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。（）２．设f,g都是实数域上的多项式，如果在复数域上，则在实数域上也有。（　　）３．若整系数多项式f没有有理根，则f在有理数域上不可约。　（　　）４．特征根全为实数的实方阵一定相似于对角阵。　（　　）５．两个实对称方阵A,B相似当且仅当它们有相同的特征多项式。（　　）６．设是线性空间V的一组基，W是V的k维子空间（），则中有k个向量生成子空间W。（　　）

8、７．设为n维欧氏空间V的一组标准正交基，为与的交角（i=1,2,..n），则。（　　　）８．正交阵的特征值只能是１或－１。（　　）９．正定的正交阵一定是单位矩阵。（　　）１０。设A是欧氏空间V的变换，并对，有，则A是正交变换。（　）一、填空题（）１．设，则线性相关的充要条件是k＝　　　２．设，是n阶单位阵，则　　　　３．如果把n阶实对称阵按照合同分类，即两个矩阵合同当且仅