高量7-密度矩阵

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1、§14密度矩阵§14.1纯态和混合态一、定义1.纯态：如果量子系统的态可以用Hilbert空间的一个矢量来描写，这种态称为纯态。两个纯态通过叠加可以得到另一个状态显然也是Hilbert空间中的一个矢量，故也是纯态。1注意：我们过去所讨论的是某一物理量的取值概率。2.混合态：如果量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写，系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处在这种状态没法用态矢量来表示，称为混合态。2比如，一个系统处在态的概率为，处于态的概率为。系统的这个态目前还无法作简单的描写，只能用下面的写法来描述这

2、个态二、物理量A在纯态和混合态中的平均值通过研究这个问题看纯态与混合态的区别。对于纯态3假设则在上述纯态中，物理量A取值的概率是而在混合态中，若系统处在态，则A取的概率幅是。若系统处在态，则为。系统既然以概率处于态，以概率处在态，那么A取的概率为这与上式显然不同。4具体到X表象，若纯态的态函数为则混合态的态函数可写成粒子处于点的概率在纯态中为而在混合态中为5前者是概率幅的相加而后者则是概率本身的相加。我们说微观粒子表现波动性，正是指相干叠加而言。由此可以看出，在纯态中两个态和发生干涉现象，而混合态则不发生干涉，各自表现出自己的位置概率。所以两个

3、态形成纯态是相干叠加，而形成混合态是不相干叠加。而在纯态中，两态叠加已形成一个新态，它原则上已不再原封不动具有原来两个态的性质了。在混合态中，系统有一定的概率处于态。当它处于此态时,它具有态所有的全部性质.对于态也是一样。6三、两点说明有时会看到一种解释，说在所表现的纯态中，“是系统处于态的概率，是处于态的概率”，这种说法是不对的。若把分别换成，这倒是对混合态的正确理解。纯态是一个全新的态，处于纯态的系统，不再有可能处于态或态。72.如果在中，都是某算符A的本征态，本征值分别为，则在纯态中物理量A取值的概率确是。但物理量取或的概率并不等于系统处

4、于态和态的概率。系统处于态中，不见得取值。比如算符B仍有取值的概率。对于纯态来讲，系统就是处于态，不存在“系统处在某态的概率”这一概念。就看测哪一个力学量。8从统计规律性的角度看，由纯态描写的统计系综称为纯粹系综，而由混合态描写的统计系综称为混合系综。下面看如何用一个单一的数学量来描述混合态。§14.2密度算符与密度矩阵一.密度算符1.定义①纯态中的定义设是Hilbert空间中的一个归一化的矢量，用其来描写状态，则A在态中平均值可写为系综（ensemble）：在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的、处于各种运动状态的、各自独立的系统的集合

5、。9密度算符与概率的关系取一组基矢，利用其完全性关系有这是一个新算符，称为密度算符。它由态矢量完全确定。注意构造密度算符时必须注意使用归一化的态矢量。我们再来看物理量A在态中取值的概率这个概率是密度算符在本征态中的平均值。定义此时10由以上两式可知，对于纯态，凡是能用态矢给出的信息，都可以同样用密度算符给出。因此是可以完全代替态矢量来描写纯态的另一种数学量。②混合态中的定义取如下一般的混合态先求物理量A在此混合态中的平均值。11在混合态中，一个物理量求平均值要通过两次平均手续：（2）统计物理平均求出各量子平均以不同的概率出现时的平均，即（1）量

6、子力学平均求出A在每一个中的平均值；同样利用一组基的完全性关系，有12如果令称为混合态的密度算符或统计算符。同样，在混合态中物理量A取值的概率应为量子力学的概率与统计物理的概率乘积之和，即则13在混合态中测A的平均值在混合态中测A得概率上式连同式与纯态情况下的形式一样，只不过混合态的密度算符是参与混合的那些纯态的密度算符的加权平均。14来表示混合态方便多了。同时可以看到，纯态是混合态的一个特殊情况。﹟至此，我们找到了密度算符这个量取描述混合态，是Hilbert空间中的一个算符，这比用下式15①方程的推导2.Liouville方程在HP空间中，态

7、矢量不含时，因此密度算符是一个不随时间而变的算符在SP空间中，密度算符则是一个含时算符利用薛定谔方程对上式进行求导，可得密度算符随时间变化的规律16这就是密度算符的运动方程，称为Liouville方程。注意此式的形式与HP中描述物理量算符的运动方程有所不同。17注意到迹的运算：②方程的应用举例可以利用Liouville方程计算一个不显含时间的物理量在混合态中的平均值随时间的变化tr{[A,B]C}=tr(ABC-BAC)=tr(BCA-BAC)=tr[B(CA-AC)]=tr{B[C,A]}这正是初量中所学的公式—力学量的平均值随时间的变化。则

8、有183.密度算符的性质对一个一般的混合态其中是参与构成混合态的那些态，是相应的权重。通常是系统哈密顿的各个本征态，因此构成一组基矢。但当哈密顿有简并