直线中的对称问题方法总结及典型例题

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1、直线中的对称问题一4类对称题型直线的対称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为,点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨:一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1•求点（1）4（3,1）关于点P（2,3）的对称点A的坐标，（2）A（2,4）,川（0,2）关于点P对称，求点P坐标.解：由题意知点P是线段AA'的中点，所以易求（1）4（1,5）因此，平面内点心必）关于％“）对称点坐标为（勿一兀,2b-片

2、）二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数，②中点坐标公式來求得.例2.已知点加」）直线歹~"+2=0,求点A关于直线/的对称点刃的坐标1+X1+歹解:法（一）解：设刀（兀歹），则虫川中点坐标为I2'2丿且满足直线£的方程又vAAf与2垂直，且曲斜率都存在由①②解得x=3,尹=_1:.川（3T）法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出血'的直线方程进而求与/的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求"'坐标.三、线关于点对称问题求直线关于

3、某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3.求直线兀+2厂1=0关于点陀1）的对称直线㊀的方程.解:法（一）I直线珀与两坐标轴交点为3(1,0)关于戸（2，1）对称点点隗0）关于陀1）对称点矶3,2）・•・过/歹的直线方程为x+2y-7=0故所求直线'2方程为x+2^-7=0法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式,求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对

4、称点再求出直线方程.例4.求已知直线x-V-2二。关于直线3x-^+3=0对称的直线方程.解：在'：x-»-2=0上任取—点4（2,0）•・•直线3x-y+3=0的斜率为3_1：•过点人⑵。)且与直线女一丿+3=°垂直的直线斜率为37xx+3y-2=0+3=0109y=—10所以点为直线％-»+力°与x+%-2=0的交点,利用屮点坐标公式求出砲°)关于3x-y+3=0的对称点坐标为179Tr5又直线x-y-2=0与3x-y+3=0的交点也在所求直线上x-y-2=0+3=05x=—29所以交点坐标为f179>(5_9A过I*

5、亏丿和(2*刃的直线方程为7x+y+22=0,故所求直线方程7x+y+22=0.