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1、数学实验实验13插值与拟合实验目的1、了解插值和拟合的基本内容。2、掌握用数学软件包求解插值和拟合问题。实验内容[1]一维插值[2]二维插值[3]拟合问题引例及基本理论。[4]用数学软件求解拟合问题。拉格朗日插值分段线性插值三次样条插值三种插值方法一、一维插值的定义二、插值的方法三、用Matlab解插值问题一维插值的定义已知n+1个节点其中互不相同，不妨设求任一插值点处的插值节点可视为由产生表达式复杂,，或无封闭形式,，或未知.。构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,即再用计算插值，即称为拉格朗日插值
2、基函数。已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为y0,y1,…,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n.解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下其中Li(x)为n次多项式：拉格朗日(Lagrange)插值拉格朗日(Lagrange)插值特别地:两点一次(线性)插值多项式:三点二次(抛物)插值多项式:拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫Runge现象采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值
3、结果图形.例分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.xjxj-1xj+1x0xnxoy比分段线性插值更光滑。xyxi-1xiab在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值三次样条插值g(x)为被插值函数。用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值点插值节点xi
4、处的插值结果‘nearest’：最邻近插值‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值。缺省时：分段线性插值。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。Lagrange插值法程序（larg1.m)functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endend%构造基
5、函数，并求值。s=p*y0(k)+s;endy(i)=s;%求出分量xi的对应值yiendLagrange插值法程序（larg1.m)(续）例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');(直接输出数据将是很多的)plot(hours,te
6、mps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作图xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius’)例2、用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.（1）在[-5,5]中平均选取5个点作插值（4）在[-5,5]中平均选取41个点作插值（2）在[-5,5]中平均选取11个点作插值（3）在[-5,5]中平均选取21个点作插值3、用三次样条插值选取11个基点计算插值1、采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图
7、形.二维插值的定义xyO第一种（网格节点）：已知mn个节点其中互不相同，不妨设构造一个二元函数通过全部已知节点,即再用计算插值，即第二种（散乱节点）：yx0已知n个节点其中互不相同，构造一个二元函数通过全部已知节点,即再用计算插值，即返回注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值xy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1)(x2,y2)O二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为
8、所求。返回将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为：分片线性插值xy(xi,yj)(xi,yj+1)(xi+1,yj)(xi+1,yj+1)Of(xi,yj)=f1，f(xi+1,yj)=f2，f(xi+1,yj+1)=f3，f(xi,
