2018版高考数学（文）（北师大版）大一轮复习讲义 第九章 平面解析几何 第九章 9.7(01)

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1、1．双曲线定义平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<

4、F1F2

5、时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝

6、F1F2

7、时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>

8、F1F2

9、时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A1(－a,

10、0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长

11、A1A2

12、＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长

13、B1B2

14、＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(

15、1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　)1．(教材改编)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　

16、)A.B．5C.D．2答案　A解析　由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.2．若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　　)A．m>－1B．m<－2C．－2－1或m<－2答案　D解析　由题意知(2＋m)(m＋1)>0，解得m>－1或m<－2，故选D.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C.－x2＝1D．y2－＝1答案　C解析　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝

17、±x，只有C符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．答案　2解析　由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.5．双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案　解析　双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y＝x，即x－2y＝0，则顶点到渐近线的距离d＝＝.题型一　双曲线的定义及标准方程命题点1　利用定义求轨迹方程例1　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为

18、____________________．答案　x2－＝1(x≤－1)解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得

19、MC1

20、－

21、AC1

22、＝

23、MA

24、，

25、MC2

26、－

27、BC2

28、＝

29、MB

30、，因为

31、MA

32、＝

33、MB

34、，所以

35、MC1

36、－

37、AC1

38、＝

39、MC2

40、－

41、BC2

42、，即

43、MC2

44、－

45、MC1

46、＝

47、BC2

48、－

49、AC1

50、＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于

51、C1C2

52、＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1

53、(x≤－1)．命题点2　利用待定系数法求双曲线方程例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线

54、方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．∴解得∴双曲线的标准方程为－