2018版高考数学（文）（人教）大一轮复习讲义 第九章 平面解析几何 第九章 9.7(01)

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1、1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离

2、PF

3、＝x0＋，也称为

4、抛物线的焦半径．2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)弦长

5、AB

6、＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，

7、0)，准线方程是x＝－.(　×　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长

8、AB

9、＝x1＋x2＋p.(　√　)1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)答案　D解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．2．(2017·济宁月考)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，

10、AF

11、＝x0，则x0等于

12、(　　)A．1B．2C．4D．8答案　A解析　由抛物线的定义，可得

13、AF

14、＝x0＋，∵

15、AF

16、＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1.3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A.B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]答案　C解析　Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－

17、4)，则该抛物线的标准方程为________________．答案　y2＝－8x或x2＝－y解析　设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.5．(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．答案　2解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得

18、p＝2.题型一　抛物线的定义及应用例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则

19、PB

20、＋

21、PF

22、的最小值为________．答案　4解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则

23、P1Q

24、＝

25、P1F

26、.则有

27、PB

28、＋

29、PF

30、≥

31、P1B

32、＋

33、P1Q

34、＝

35、BQ

36、＝4.即

37、PB

38、＋

39、PF

40、的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求

41、PB

42、＋

43、PF

44、的最小值．解　由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵

45、PB

46、＋

47、PF

48、的最小值即为B，F两点间的距离，∴

49、PB

50、＋

51、PF

52、≥

53、BF

54、＝＝＝2，即

55、PB

56、＋

57、PF

58、的最小值为2.2．若将

59、本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝

60、PF

61、－1，所以d1＋d2＝d2＋

62、PF

63、－1.易知d2＋

64、PF

65、的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋

66、PF

67、的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此